Soru:
\( T = \{ \frac{1}{2^n} \mid n \in \mathbb{N} \} \) kümesi arada olma özelliğine sahip midir? Nedenini açıklayınız.
Çözüm:
💡 Bu küme, 1'den başlayarak her seferinde 2'ye bölünen bir sayı dizisidir: \( T = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, ...\} \)
- ➡️ Kümeden herhangi iki farklı eleman alalım. Örneğin, \( \frac{1}{4} \) ve \( \frac{1}{8} \).
- ➡️ Bu iki elemanın arasında bir sayı olduğunu biliyoruz: \( \frac{1}{8} < \frac{3}{16} < \frac{1}{4} \).
- ➡️ Ancak soru şu: \( \frac{3}{16} \) bu kümenin bir elemanı mı? Kümenin elemanları \( \frac{1}{2^n} \) formundadır. \( \frac{3}{16} \) bu forma getirilemez. Yani \( T \) kümesine ait değildir.
- ➡️ Kümedeki herhangi iki eleman arasında, yine aynı kümeye ait başka bir eleman bulunamaz. Çünkü elemanlar birbirinden ayrık ve aralarındaki mesafe belirgindir.
✅ Sonuç: \( T \) kümesi arada olma özelliğine sahip değildir. Bu tür kümeler ayrık yapıdadır.
