Soru:
\( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid 0 \le x \le 1 \} \) kapalı aralığı arada olma özelliğine sahip midir? Gösteriniz.
Çözüm:
💡 Arada olma özelliği, bir kümenin "içinin" yoğun olup olmadığı ile ilgilidir. Kapalı bir aralık, uç noktaları da içerdiği halde, bu özelliği sağlar.
- ➡️ \( A \) kümesinden herhangi iki farklı eleman seçelim: \( a, b \in A \) ve \( a < b \) olsun.
- ➡️ Amacımız, \( a < c < b \) koşulunu sağlayan bir \( c \in A \) elemanı bulmaktır.
- ➡️ Yine ortalama yöntemini kullanabiliriz: \( c = \frac{a + b}{2} \).
- ➡️ \( 0 \le a < b \le 1 \) olduğundan, \( 0 \le a < \frac{a+b}{2} < b \le 1 \) eşitsizliği sağlanır. Bu da \( c \) sayısının hem \( a \) ile \( b \) arasında olduğunu, hem de \( A \) kümesinin bir elemanı olduğunu (\( 0 \le c \le 1 \)) gösterir.
- ➡️ Hatta \( a \) ve \( b \) sayıları aralığın uç noktaları bile olsa (örneğin a=0 ve b=1), yine de aralarında (örneğin 1/2) bir eleman bulunur.
✅ Sonuç: [0, 1] kapalı aralığı arada olma özelliğine sahiptir.
