Soru:
\( M = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{Z^+} \right\} \cup \{0\} \) kümesi arada olma özelliğine sahip midir? Cevabınızı mantıklı bir şekilde açıklayınız.
Çözüm:
🔍 İlk adım, kümenin elemanlarını anlamaktır. \( M = \{ ..., \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1, 0 \} \) şeklinde bir kümedir. (Aslında n pozitif tam sayı olduğu için \( \frac{1}{1}=1 \)'den başlar ve 0'a yakınsar).
- ➡️ Kümeden İki Eleman Seçelim: Örneğin, \( a = \frac{1}{2} \) ve \( b = \frac{1}{4} \) elemanlarını alalım. \( \frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
- ➡️ Arada Kalan Elemanı Kontrol Edelim: \( \frac{1}{3} \) sayısı, \( \frac{1}{4} \) ve \( \frac{1}{2} \) arasında kalır ve tanım gereği \( n=3 \) için \( \frac{1}{3} \in M \)'dir. Buraya kadar iyi görünüyor.
- ➡️ Kritik Bir Test Daha Yapalım: Şimdi \( a = \frac{1}{100} \) ve \( b = 0 \) elemanlarını alalım. \( \frac{1}{100} \) ile 0 arasında, örneğin \( \frac{1}{200} \) gibi bir sayı vardır. Ancak, \( \frac{1}{200} \) sayısı M kümesinde var mıdır? Evet, \( n=200 \) için \( \frac{1}{200} \in M \)'dir. Peki, \( \frac{1}{100} \) ve \( \frac{1}{200} \) arasında kalan, mesela \( \frac{1}{150} \) sayısı da M'nin elemanıdır. Bu şekilde her seferinde aradaki bir elemanı bulsak da...
- ➡️ Asıl Sorun: \( \frac{1}{100} \) ve 0 arasında, M kümesinde olmayan sayılar var mıdır? Örneğin, 0.0000001 gibi bir sayı, M kümesinin bir elemanı değildir çünkü hiçbir pozitif tam sayının tersi olarak yazılamaz. M kümesi sadece 0 ve \( \frac{1}{n} \) formundaki sayılardan oluşur. 0.0000001, bu formda yazılamayan bir sayıdır. Dolayısıyla, \( \frac{1}{100} \) ve 0 arasında kalan pek çok reel sayı M kümesinde bulunmaz.
✅ Sonuç: Hayır, M kümesi arada olma özelliğine sahip değildir. Kümeden 0 ve herhangi bir \( \frac{1}{n} \) elemanı seçildiğinde, bu iki eleman arasında M'ye ait olmayan sonsuz sayıda reel sayı vardır.
