Soru:
Mühendisler, bir gezegenin kütlesini hesaplamak için formül kullanıyor: \( M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2} \). Bir uydunun yörünge periyodu \( T = 1.2 \times 10^4 \) s ve yörünge yarıçapı \( r = 2.5 \times 10^7 \) m'dir. Evrensel çekim sabiti \( G = 6.67 \times 10^{-11} \) N·m²/kg² olduğuna göre, gezegenin kütlesini (\( M \)) kg cinsinden hesaplayınız. (\( \pi \approx 3.14 \) alınız)
Çözüm:
💡 Verilen formülde tüm değerleri yerine koyarak kütleyi bulacağız.
- ➡️ Adım 1: Formülü ve değişkenleri yazalım.
\( M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2} \)
\( \pi \approx 3.14 \), \( r = 2.5 \times 10^7 \) m, \( T = 1.2 \times 10^4 \) s, \( G = 6.67 \times 10^{-11} \)
- ➡️ Adım 2: Pay kısmını hesaplayalım (\( 4\pi^2 r^3 \)).
\( \pi^2 \approx (3.14)^2 \approx 9.8596 \)
\( 4\pi^2 \approx 4 \times 9.8596 \approx 39.4384 \)
\( r^3 = (2.5 \times 10^7)^3 = (2.5)^3 \times (10^7)^3 = 15.625 \times 10^{21} = 1.5625 \times 10^{22} \)
\( 4\pi^2 r^3 \approx 39.4384 \times (1.5625 \times 10^{22}) \)
\( \approx 61.6225 \times 10^{22} \approx 6.16225 \times 10^{23} \)
- ➡️ Adım 3: Payda kısmını hesaplayalım (\( G T^2 \)).
\( T^2 = (1.2 \times 10^4)^2 = (1.2)^2 \times (10^4)^2 = 1.44 \times 10^8 \)
\( G T^2 = (6.67 \times 10^{-11}) \times (1.44 \times 10^8) \)
\( = 6.67 \times 1.44 \times 10^{-11+8} \)
\( \approx 9.6048 \times 10^{-3} \)
- ➡️ Adım 4: Kütleyi hesaplayalım.
\( M = \frac{6.16225 \times 10^{23}}{9.6048 \times 10^{-3}} \)
\( \approx \frac{6.16225}{9.6048} \times 10^{23 - (-3)} \)
\( \approx 0.6416 \times 10^{26} \)
\( \approx 6.416 \times 10^{25} \) kg
✅ Sonuç: Gezegenin kütlesi yaklaşık \( 6.42 \times 10^{25} \) kg'dır.
