Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninde \( |AB| = 10 \) cm, \( |AC| = 6 \) cm'dir. \( |BC| = x \) cm olduğuna göre, \( x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? (Üçgenin bir açısının \( 90^\circ \)'den küçük olduğu biliniyor.)
Çözüm:
💡 Bu soru, dik ve geniş açılı üçgenlerdeki kenar bağıntılarını hatırlamamızı gerektiriyor. Bir açı \( 90^\circ \)'den küçükse, üçgen dar açılı veya dik üçgen olabilir, ancak geniş açılı olamaz.
- ➡️ Geniş açılı üçgende, geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür (\( a^2 > b^2 + c^2 \)).
- ➡️ Dik üçgende ise, dik açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir (\( a^2 = b^2 + c^2 \)).
- ➡️ Soruda tüm açılar \( 90^\circ \)'den küçük olduğu için (dar açılı üçgen), herhangi bir kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından küçük olmalıdır.
- ➡️ En uzun kenar \( x \) olabilir. Bu durumda dar açılı üçgen koşulu: \( x^2 < 10^2 + 6^2 \) → \( x^2 < 100 + 36 \) → \( x^2 < 136 \) → \( x < \sqrt{136} \approx 11.66 \).
- ➡️ Ayrıca üçgen eşitsizliğini de unutmayalım: \( |10-6| < x < 10+6 \) → \( 4 < x < 16 \).
- ➡️ İki koşulu birlikte düşünürsek: \( 4 < x < 11.66 \).
✅ Sonuç: \( x \)'in alabileceği en büyük tam sayı değeri \( 11 \) cm'dir.
