Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninde \( |AB| = 2x - 3 \), \( |AC| = x + 4 \) ve \( |BC| = 10 \) birimdir. Bu üçgenin çizilebilmesi için \( x \)'in alabileceği en geniş aralığı bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda Üçgen Eşitsizliği'ni her bir kenar çifti için ayrı ayrı uygulayacağız ve bulduğumuz aralıkların kesişimini alacağız.
- ➡️ 1. Eşitsizlik: \( |(2x - 3) - (x + 4)| < 10 < (2x - 3) + (x + 4) \)
- Sol Taraf: \( |x - 7| < 10 \) → \( -10 < x - 7 < 10 \) → \( -3 < x < 17 \)
- Sağ Taraf: \( 10 < 3x + 1 \) → \( 9 < 3x \) → \( 3 < x \)
Bu eşitsizlikten \( 3 < x < 17 \) sonucu çıkar.
- ➡️ 2. Eşitsizlik: \( |(2x - 3) - 10| < x + 4 < (2x - 3) + 10 \)
- Sol Taraf: \( |2x - 13| < x + 4 \) → \( -(x + 4) < 2x - 13 < x + 4 \)
Bu iki eşitsizliğe ayrılır:
- \( -x - 4 < 2x - 13 \) → \( 9 < 3x \) → \( 3 < x \)
- \( 2x - 13 < x + 4 \) → \( x < 17 \)
Yine \( 3 < x < 17 \) sonucu çıkar.
- Sağ Taraf: \( x + 4 < 2x + 7 \) → \( -3 < x \) (Bu zaten ilk eşitsizlikle sağlanıyor).
- ➡️ 3. Eşitsizlik: \( |(x + 4) - 10| < 2x - 3 < (x + 4) + 10 \)
- Sol Taraf: \( |x - 6| < 2x - 3 \) → \( -(2x - 3) < x - 6 < 2x - 3 \)
Bu iki eşitsizliğe ayrılır:
- \( -2x + 3 < x - 6 \) → \( 9 < 3x \) → \( 3 < x \)
- \( x - 6 < 2x - 3 \) → \( -3 < x \)
Yine \( 3 < x \) sonucu çıkar.
- Sağ Taraf: \( 2x - 3 < x + 14 \) → \( x < 17 \)
- ➡️ Tüm eşitsizliklerin ortak çözümü: \( 3 < x < 17 \)
✅ Sonuç olarak, üçgenin çizilebilmesi için \( x \)'in alabileceği en geniş aralık \( 3 < x < 17 \)'dir.
