Soru:
Asal çarpanlarına ayrılmış hali \(A = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1\) olan bir sayının tam sayı bölenleri toplamı kaçtır?
Çözüm:
💡 Sayının kendisi verilmemiş ama asal çarpanları verilmiş. Bu, işimizi kolaylaştırır. Direkt formülü uygulayabiliriz.
- ➡️ 1. Adım: Pozitif Tam Bölenler Toplamını (PTBT) bulalım.
\(PTBT = \frac{2^{4+1} - 1}{2 - 1} \cdot \frac{5^{2+1} - 1}{5 - 1} \cdot \frac{7^{1+1} - 1}{7 - 1}\)
\(PTBT = \frac{2^{5} - 1}{1} \cdot \frac{5^{3} - 1}{4} \cdot \frac{7^{2} - 1}{6}\)
\(PTBT = \frac{32 - 1}{1} \cdot \frac{125 - 1}{4} \cdot \frac{49 - 1}{6}\)
\(PTBT = 31 \cdot \frac{124}{4} \cdot \frac{48}{6}\)
\(PTBT = 31 \cdot 31 \cdot 8\)
- ➡️ 2. Adım: İşlemi tamamlayalım.
\(31 \cdot 31 = 961\), ve \(961 \cdot 8 = 7688\)
Yani, \(PTBT = 7688\)
- ➡️ 3. Adım: Tam Sayı Bölenleri Toplamını (TSBT) bulalım. Bir sayının pozitif ve negatif bölenleri birbirinin ters işaretlisidir ve toplamları her zaman 0'dır.
\(TSBT = 0\)
✅ Sonuç: Verilen sayının tüm tam sayı bölenlerinin toplamı 0'dır.
