Soru:
Bir dairesel pistte, A ve B noktalarından aynı anda birbirlerine doğru hareket eden iki yarışmacı ilk kez 40 saniye sonra karşılaşıyor. Aynı noktalardan aynı anda aynı yönde hareket ettiklerinde, hızlı olan yavaş olanı ilk kez 3 dakika sonra yakalıyor. Buna göre, yarışmacıların bu pisti tek başlarına kaçar saniyede koşabileceklerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu problem, iki bilinmeyenli denklem kurularak çözülür. Pistin uzunluğu 1 tur olarak alınabilir.
- ➡️ Hızlı koşucunun tur süresi \( x \), yavaş koşucunun tur süresi \( y \) saniye olsun. Hızları ise \( v_A = \frac{1}{x} \) ve \( v_B = \frac{1}{y} \) tur/sn olur.
- ➡️ Zıt Yön Durumu: Toplam hız \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) tur/sn'dir. 40 saniyede 1 turu tamamlarlar (karşılaşma).
Denklem: \( 40 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1 \) → \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{40} \) (1. Denklem)
- ➡️ Aynı Yön Durumu: Hız farkı \( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \) tur/sn'dir. 3 dakika = 180 saniyede 1 tur fark atarak yakalar.
Denklem: \( 180 \times (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = 1 \) → \( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{180} \) (2. Denklem)
- ➡️ İki denklemi taraf tarafa toplayalım:
\( 2 \times \frac{1}{x} = \frac{1}{40} + \frac{1}{180} = \frac{9}{360} + \frac{2}{360} = \frac{11}{360} \)
\( \frac{1}{x} = \frac{11}{720} \) → \( x = \frac{720}{11} \) saniye
- ➡️ İkinci denklemi birinciden çıkaralım:
\( 2 \times \frac{1}{y} = \frac{1}{40} - \frac{1}{180} = \frac{9}{360} - \frac{2}{360} = \frac{7}{360} \)
\( \frac{1}{y} = \frac{7}{720} \) → \( y = \frac{720}{7} \) saniye
✅ Hızlı koşucu pisti \( \frac{720}{11} \approx 65,45 \) saniyede, yavaş koşucu ise \( \frac{720}{7} \approx 102,86 \) saniyede tamamlar.
