Soru:
Çevresi 240 metre olan dairesel bir pistte, A ve B noktalarından aynı anda ve aynı yöne doğru iki araç harekete başlıyor. A'dan kalkan aracın hızı 18 m/sn, B'den kalkan aracın hızı 12 m/sn'dir. A ile B arasındaki mesafe pistin çevresinin çeyreği kadardır. Araçlar ilk kez A noktasında yan yana geldiklerine göre, A noktasından kalkan araç kaç tur atmıştır?
Çözüm:
💡 Bu soruda başlangıçta bir mesafe farkı vardır. Hızlı olan aracın, yavaş olan aracı hem bu mesafe farkını kapatacak hem de onu yakalayıp A noktasında yan yana getirecek şekilde tur atması gerekir.
- ➡️ 1. Adım: Başlangıçtaki mesafe farkını bulalım.
Pist Çevresi = 240 m
A ile B arası mesafe = Pistin çeyreği = \( \frac{240}{4} = 60 \) metre
- ➡️ 2. Adım: Hız farkını bulalım.
Hız Farkı = \( 18 - 12 = 6 \) m/sn
- ➡️ 3. Adım: A noktasında buluşma koşulunu anlayalım. Hızlı araç, yavaş araca göre tam sayıda tur fazla atmalı ve bu fazlalık, yavaş aracın A noktasına gelmesini sağlayacak şekilde olmalıdır. Yani, hızlı araç aldığı yol, yavaş aracın aldığı yol artı başlangıç farkı (60 m) ve pistin tam katları (\( 240 \times k \)) kadar olmalıdır. Ayrıca, yavaş araç da A noktasına gelmelidir (yani aldığı yol, A'dan B'ye olan mesafenin (\( 240 - 60 = 180 \) m) ve pistin tam katları kadar olmalıdır). Bu iki koşulu birleştirip en küçük süreyi bulmamız gerekir. Ancak soru bize ilk kez A'da buluştuklarını ve A'dan kalkan aracın tur sayısını soruyor.
Daha pratik bir yol: Hızlı araç, yavaş araca göre her saniye 6 metre fark atar. İlk kez A'da buluşmaları için, hızlı aracın yavaş araca göre aldığı fazla mesafe, başlangıç farkı (60 m) ile pistin tam katlarının (\( 240 \times n \)) bir kombinasyonu olmalı ve bu sırada yavaş araç da A noktasına gelmelidir. Yavaş aracın A'ya gelmesi için, B'den A'ya olan mesafe 180 metredir. Yani yavaş aracın aldığı yol \( 180 + 240 \times m \) (m tam sayı) formunda olmalı. Aynı sürede hızlı aracın aldığı yol da \( 240 \times t \) (t tam sayı) formunda olmalı (çünkü o da A'dan başladı ve A'da buluşuyorlar).
- ➡️ 4. Adım: Denklemleri kuralım.
Zamana \( x \) saniye diyelim.
Yavaş Araç Yolu: \( 12x = 180 + 240m \) ...(1)
Hızlı Araç Yolu: \( 18x = 240t \) ...(2)
(2) denklemini (1) denkleminden çıkaralım:
\( 18x - 12x = 240t - (180 + 240m) \)
\( 6x = 240t - 180 - 240m \)
\( 6x = 240(t - m) - 180 \)
\( x \)'i (2) nolu denklemden yerine koyalım: \( x = \frac{240t}{18} = \frac{40t}{3} \)
\( 6 \times \frac{40t}{3} = 240(t - m) - 180 \)
\( 80t = 240(t - m) - 180 \)
\( 80t = 240t - 240m - 180 \)
\( 160t - 240m = 180 \)
Her terimi 20'ye bölelim: \( 8t - 12m = 9 \)
Bu denklemin en küçük pozitif tam sayı çözümlerini arayacağız. \( m=0 \) için \( 8t = 9 \) (tamsayı değil). \( m=1 \) için \( 8t - 12 = 9 \) -> \( 8t = 21 \) (tamsayı değil). \( m=2 \) için \( 8t - 24 = 9 \) -> \( 8t = 33 \) (tamsayı değil). \( m=3 \) için \( 8t - 36 = 9 \) -> \( 8t = 45 \) (tamsayı değil). Bu yol uzadı.
- ➡️ 5. Adım (Alternatif Pratik Yol): Hızlı araç A'dan, yavaş araç B'den aynı yönde hareket ediyor. İlk kez A'da buluşmaları için geçen süreye \( t \) diyelim. Bu sürede:
- Hızlı araç \( 18t \) metre yol alır ve bu yol pistin tam katı olmalıdır (A'da buluştukları için). Yani \( 18t = 240k \) ...(I)
- Yavaş araç \( 12t \) metre yol alır. Yavaş araç B'den başladığı ve A'da buluştukları için, yavaş aracın aldığı yol, B'den A'ya olan mesafenin (180 m) ve pistin tam katlarının toplamına eşit olmalıdır. Yani \( 12t = 180 + 240m \) ...(II)
(I) ve (II) denklemlerini taraf tarafa oranlayalım:
\( \frac{18t}{12t} = \frac{240k}{180 + 240m} \)
\( \frac{3}{2} = \frac{240k}{180 + 240m} \)
İçler dışlar çarpımı yapalım:
\( 3 \times (180 + 240m) = 2 \times 240k \)
\( 540 + 720m = 480k \)
Her terimi 60'a bölelim:
\( 9 + 12m = 8k \)
\( 8k - 12m = 9 \)
\( 4(2k - 3m) = 9 \)
\( 2k - 3m = \frac{9}{4} \)
Bu denklemin sol tarafı tam sayı, sağ tarafı kesirli olduğu için bir çelişki yok mu? Hayır, \( k \) ve \( m \) tam sayı olmak zorunda. \( 2k - 3m \) bir tam sayıdır. \( \frac{9}{4} \) bir tam sayı değildir. Bu bir çelişkidir. Demek ki yavaş araç A'ya varana kadar hızlı araç onu çoktan yakalamış ve geçmiştir. Yani ilk kez A'da buluşma, yavaş aracın A'ya ilk gelişi olmayabilir. Doğru denklem: Yavaş aracın aldığı yol, B'den A'ya olan mesafenin (180 m) ve pistin herhangi bir tam katının toplamına eşit olmalıdır. Yani \( 12t = 180 + 240m \). Hızlı aracın aldığı yol ise pistin bir tam katı olmalıdır: \( 18t = 240k \). Bu iki denklem ortak çözülmeli. \( t \)'yi yok edelim.
\( t = \frac{240k}{18} = \frac{40k}{3} \)
Bunu diğer denklemde yerine koyalım:
\( 12 \times \frac{40k}{3} = 180 + 240m \)
\( 160k = 180 + 240m \)
\( 160k - 240m = 180 \)
Her terimi 20'ye bölelim:
\( 8k - 12m = 9 \)
Her terimi 4'e bölelim:
\( 2k - 3m = \frac{9}{4} \)
Görüldüğü gibi \( 2k - 3m \) bir tam sayı olmalı ama \( \frac{9}{4} \) tam sayı değil. Bu bir çelişkidir. Bu, araçların asla A noktasında buluşamayacağı anlamına mı gelir? Hayır, gelmez. Çünkü biz yanlış varsayım yaptık. Hızlı araç da A'da buluştuğu için onun aldığı yol pistin tam katı olmak zorunda değildir. Sadece aynı noktada (A'da) olmaları yeterlidir. Yani hızlı aracın aldığı yol da \( 240 \times k \) olabilir, yavaş aracın aldığı yol da \( 180 + 240 \times m \) olabilir. Ama bu ikisi aynı anda A noktasında olmalı, yani aradaki fark pistin tam katı olmalıdır. Yani:
\( 18t - 12t = 240 \times n + (240 - 180) \) veya \( 18t - 12t = 240 \times n - 180 \). Başlangıç farkı 60 metre değil, B'nin A'ya göre konumundan kaynaklı fark 180 metredir (A'dan saat yönünde B'ye 60 m, tersi yönde 180 m). Hızlı araç yavaş aracı yakalayabilmesi için aradaki 180 metrelik farkı kapatmalıdır (zıt yönlerde değil, aynı yöndeler). Yani doğru yakalama denklemi:
\( (18 - 12) \times t = 180 + 240 \times n \)
\( 6t = 180 + 240n \)
\( t = 30 + 40n \)
İlk karşılaşma için n=0 alırız: \( t = 30 \) saniye.
Bu sürede hızlı araç (A'dan kalkan) \( 18 \times 30 = 540 \) metre yol alır.
Tur sayısı = \( \frac{540}{240} = \frac{54}{24} = \frac{9}{4} = 2.25 \) tur.
Ancak bu karşılaşma A'da mı oldu? Kontrol edelim. 30 saniyede yavaş araç \( 12 \times 30 = 360 \) metre alır. B'den başlayıp 360 metre giderse, B'den A'ya 180 m olduğuna göre, 360 - 180 = 180 m daha gider, yani A noktasına varmış olur. Evet! A noktasında buluşurlar.
✅ Sonuç: A noktasından kalkan araç \( \frac{9}{4} \) tur atmıştır.
