Soru:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases} 3x + 5, & x \leq 1 \\ x^2 + k, & x > 1 \end{cases} \)
fonksiyonu her \( x \) gerçel sayısı için sürekli olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözüm:
💡 Bir parçalı fonksiyonun bir noktada sürekli olması için, o noktadaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır. Kritik nokta \( x = 1 \)'dir.
- ➡️ Adım 1: Soldan limite bakalım (\( x \to 1^- \)).
\( x \leq 1 \) tanımı geçerli olduğundan, \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x + 5) = 3(1) + 5 = 8 \).
- ➡️ Adım 2: Sağdan limite bakalım (\( x \to 1^+ \)).
\( x > 1 \) tanımı geçerli olduğundan, \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + k) = (1)^2 + k = 1 + k \).
- ➡️ Adım 3: Fonksiyonun \( x=1 \) noktasındaki değerine bakalım.
\( x = 1 \) iken \( x \leq 1 \) tanımı geçerli olduğundan, \( f(1) = 3(1) + 5 = 8 \).
- ➡️ Adım 4: Süreklilik için bu üç değer eşit olmalıdır:
\( 8 = 1 + k = 8 \).
Dolayısıyla, \( 1 + k = 8 \).
✅ Sonuç: \( k = 7 \) olarak bulunur.
