Soru:
\( f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} - \{3\} \) birebir ve örten bir fonksiyondur ve
\( f(x) = \frac{ax + 4}{x + b} \)
kuralı ile veriliyor. Buna göre, \( f^{-1}(1) \) değeri kaçtır?
Çözüm:
💡 Bu soruda ters fonksiyonun bir noktadaki değerini bulmamız isteniyor. Bunun için önce \( a \) ve \( b \) sabitlerini bulmalıyız. Tanım ve değer kümeleri bize bu sabitler hakkında ipucu verir.
- ➡️ 1. Adım: \( b \) değerini bulalım.
Paydayı sıfır yapan değer tanım kümesinde olamaz. Tanım kümesi \( \mathbb{R} - \{2\} \) olduğuna göre,
\( x + b = 0 \) denkleminin kökü \( x=2 \) olmalıdır.
\( 2 + b = 0 \implies b = -2 \)
- ➡️ 2. Adım: \( a \) değerini bulalım.
Fonksiyonun görüntü kümesi \( \mathbb{R} - \{3\} \)'tür. Bu, \( f(x) = 3 \) denkleminin bir çözümü olmadığı anlamına gelir (yani bu değer paydayı sıfır yapmalı).
\( \frac{ax + 4}{x - 2} = 3 \) denklemini çözelim.
\( ax + 4 = 3(x - 2) \)
\( ax + 4 = 3x - 6 \)
\( (a - 3)x = -10 \)
Bu denklemin çözümü olmaması için \( x \)'in katsayısı 0 olmalıdır (çünkü sağ taraf 0 değil).
\( a - 3 = 0 \implies a = 3 \)
- ➡️ 3. Adım: Fonksiyonu yazalım.
\( a=3 \) ve \( b=-2 \) için \( f(x) = \frac{3x + 4}{x - 2} \) olur.
- ➡️ 4. Adım: \( f^{-1}(1) \) değerini bulalım.
Bir fonksiyonun tersinde, \( f^{-1}(1) = k \) ise \( f(k) = 1 \) anlamına gelir.
\( f(k) = 1 \) denklemini çözelim.
\( \frac{3k + 4}{k - 2} = 1 \)
\( 3k + 4 = k - 2 \)
\( 3k - k = -2 - 4 \)
\( 2k = -6 \)
\( k = -3 \)
✅ Sonuç: \( f^{-1}(1) = -3 \) olarak bulunur.
