Soru:
\( f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} - \{3\} \) birebir ve örten bir fonksiyondur ve \( f(x) = \frac{ax + 4}{x + b} \) şeklinde tanımlanmıştır.
Buna göre, \( f^{-1}(3) \) değeri kaçtır?
Çözüm:
💡 Bu soruda ters fonksiyonun belirli bir noktadaki değeri isteniyor. Fonksiyonun kuralını ve tanım-kümesini kullanarak \( a \) ve \( b \) değerlerini bulmalıyız.
- ➡️ Adım 1: Tanım kümesi \( \mathbb{R} - \{2\} \) ise, paydayı sıfır yapan değer 2'dir.
\( x + b = 0 \) denkleminde \( x = 2 \) yazarsak, \( 2 + b = 0 \) ⇒ \( b = -2 \).
- ➡️ Adım 2: Görüntü kümesi \( \mathbb{R} - \{3\} \) ise, fonksiyon 3 değerini alamaz. Yani \( f(x) = 3 \) denkleminin çözümü yoktur (veya paydayı sıfır yapan yatay asimptot değeri 3'tür).
\( \frac{ax + 4}{x - 2} = 3 \) denklemini çözelim.
\( ax + 4 = 3(x - 2) \)
\( ax + 4 = 3x - 6 \)
\( (a - 3)x = -10 \)
Bu denklemin çözümünün olmaması için \( x \)'in katsayısı 0 olmalıdır ki \( 0 = -10 \) gibi bir çelişki oluşsun.
\( a - 3 = 0 \) ⇒ \( a = 3 \).
- ➡️ Adım 3: Artık fonksiyonumuz belli: \( f(x) = \frac{3x + 4}{x - 2} \).
\( f^{-1}(3) \) değeri, \( f(k) = 3 \) eşitliğini sağlayan \( k \) değeridir. Ancak görüntü kümesinden biliyoruz ki fonksiyon 3 değerini almaz! Bu bir çelişki gibi görünebilir. Ters fonksiyonun tanımını hatırlayalım: \( f^{-1}(3) \), "hangi \( x \) değerinin görüntüsü 3'tür?" sorusunun cevabıdır. Cevap yoktur. Fakat soruda verilen tanım kümesi \( \mathbb{R} - \{3\} \) olduğuna göre, \( f^{-1} \)'in tanım kümesi de \( \mathbb{R} - \{3\} \) olur. Yani 3 sayısı ters fonksiyonun tanım kümesinde yoktur. Bu durumda \( f^{-1}(3) \) tanımsızdır... Ancak genellikle bu tarz sorularda, "fonksiyon 3 değerini almaz" ifadesi, yatay asimptotun 3 olduğu ve fonksiyonun tersinin de \( x=3 \) noktasında tanımsız olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, \( f^{-1}(3) \)'ü bulmak için \( f(x) = 3 \) denklemini çözmeye çalıştığımızda paydayı sıfır yapan değeri buluruz.
\( \frac{3x+4}{x-2} = 3 \) denklemini tekrar yazalım:
\( 3x+4 = 3x - 6 \) ⇒ \( 4 = -6 \) çelişkisi gelir. Bu çelişki, \( x \)'in tanım kümesindeki bir değer için sağlanamaz. Peki bu ne anlama gelir? Fonksiyonun tersi alındığında, \( f^{-1}(x) = \frac{2x+4}{x-3} \) şeklinde bulunur. Görüldüğü gibi \( x=3 \) için payda sıfır olur ve tanımsızdır. Bu nedenle...
✅ Sonuç: \( f^{-1}(3) \) tanımsızdır. Ancak çoktan seçmeli bir soruda bu şık olmayacağı için, sorunun amacı \( a \) ve \( b \)'yi bulup ters fonksiyon kuralını yazmaktır. \( f^{-1}(x) = \frac{-2x+4}{x-3} \) bulunur. \( x=3 \) koyarsak tanımsız olur. Cevap: Tanımsız.
Not: Bu soru tipik bir AYT sorusu mantığında, \( f^{-1}(3) \)'ü sorduğunda, aslında \( f(x)=3 \) denkleminin çözümü olan \( x \) değerini sorar. Bu denklem çözülemez, dolayısıyla böyle bir \( x \) yoktur. Ancak seçeneklerde "tanımsız" veya "yok" şıkkı yoksa, soru iptal edilir veya farklı yorumlanır. Genel kabul, bu değerin olmadığı yönündedir.
