Soru:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \begin{cases}
3x + 5, & x \leq 1 \\
x^2 + k, & x > 1
\end{cases} \)
fonksiyonu her \( x \) gerçel sayısı için sürekli olduğuna göre, \( k \) kaçtır?
Çözüm:
💡 Bir parçalı fonksiyonun bir noktada sürekli olması için, o noktadaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır. Kritik noktamız \( x=1 \)'dir.
- ➡️ 1. Adım: Soldan limiti bulalım (\( x \to 1^- \)).
\( x \leq 1 \) iken \( f(x) = 3x + 5 \) tanımını kullanırız.
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 3(1) + 5 = 8 \)
- ➡️ 2. Adım: Sağdan limiti bulalım (\( x \to 1^+ \)).
\( x > 1 \) iken \( f(x) = x^2 + k \) tanımını kullanırız.
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = (1)^2 + k = 1 + k \)
- ➡️ 3. Adım: Fonksiyonun \( x=1 \) noktasındaki değerini bulalım.
\( x=1 \) iken \( f(x) = 3x + 5 \) tanımı geçerlidir.
\( f(1) = 3(1) + 5 = 8 \)
- ➡️ 4. Adım: Süreklilik koşulunu yazalım.
Soldan Limit = Sağdan Limit = Fonksiyon Değeri
\( 8 = 1 + k = 8 \)
Buradan, \( 1 + k = 8 \) denklemi elde edilir.
✅ Sonuç: \( 1 + k = 8 \implies k = 7 \) olarak bulunur.
