Soru:
\( f \) doğrusal bir fonksiyondur.
\( f(1) = 5 \) ve \( f(f(2)) = 20 \) olduğuna göre, \( f(5) \) değeri kaçtır?
Çözüm:
💡 Doğrusal fonksiyon \( f(x) = ax + b \) şeklinde yazılır. Verilen koşulları kullanarak \( a \) ve \( b \) katsayılarını bulacağız.
- ➡️ Adım 1: \( f(1) = 5 \) bilgisini kullanalım.
\( f(1) = a(1) + b = a + b = 5 \). (1. Denklem)
- ➡️ Adım 2: \( f(f(2)) = 20 \) bilgisini kullanalım.
Önce \( f(2) \)'yi bulalım: \( f(2) = a(2) + b = 2a + b \).
Şimdi \( f(f(2)) = f(2a + b) \).
\( f(2a + b) = a(2a + b) + b = 2a^2 + ab + b \).
Bu ifade 20'ye eşit: \( 2a^2 + ab + b = 20 \). (2. Denklem)
- ➡️ Adım 3: Denklem sistemini çözelim.
(1. Denklem)'den \( b = 5 - a \).
Bunu (2. Denklem)'de yerine yazalım:
\( 2a^2 + a(5 - a) + (5 - a) = 20 \)
\( 2a^2 + 5a - a^2 + 5 - a = 20 \)
\( a^2 + 4a + 5 = 20 \)
\( a^2 + 4a - 15 = 0 \).
- ➡️ Adım 4: İkinci dereceden denklemi çözelim.
Diskriminant: \( \Delta = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(1)(-15) = 16 + 60 = 76 \).
\( a = \frac{-4 \pm \sqrt{76}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{19}}{2} = -2 \pm \sqrt{19} \).
Yani iki farklı \( a \) değeri ve dolayısıyla iki farklı \( b \) ve \( f(x) \) fonksiyonu vardır.
- ➡️ Adım 5: \( f(5) \)'i her iki durum için ayrı ayrı bulalım. \( f(5) = 5a + b \).
\( b = 5 - a \) olduğunu biliyoruz. Yerine yazarsak: \( f(5) = 5a + (5 - a) = 4a + 5 \).
Durum 1: \( a = -2 + \sqrt{19} \) ⇒ \( f(5) = 4(-2 + \sqrt{19}) + 5 = -8 + 4\sqrt{19} + 5 = 4\sqrt{19} - 3 \).
Durum 2: \( a = -2 - \sqrt{19} \) ⇒ \( f(5) = 4(-2 - \sqrt{19}) + 5 = -8 - 4\sqrt{19} + 5 = -4\sqrt{19} - 3 \).
✅ Sonuç: Soru "doğrusal fonksiyon" dediği ve bir kısıtlama getirmediği için iki farklı cevap mümkündür: \( f(5) = 4\sqrt{19} - 3 \) veya \( f(5) = -4\sqrt{19} - 3 \).
