Geniş açılı üçgende diklik merkezi

ABC geniş açılı üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 110^\circ \), \( |AB| = 6 \) cm, \( |AC| = 8 \) cm'dir. A köşesinden çizilen yüksekliğin ayağı D, B köşesinden çizilen yüksekliğin ayağı E noktasıdır. Diklik merkezi H olduğuna göre, \( |AH| \) uzunluğunu bulunuz.

💡 Geniş açılı üçgende diklik merkezi üçgenin dışındadır. Yüksekliklerin uzantıları kesişir.

• ➡️ Önce \( |BC| \) kenarını bulalım. Kosinüs teoremi ile:
  \( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos(110^\circ) \)
  \( = 36 + 64 - 2\cdot 6\cdot 8\cdot (-0.342) \)
  \( = 100 + 32.832 = 132.832 \)
  \( BC \approx 11.53 \) cm
• ➡️ \( \triangle ABC \)'nin alanını bulalım:
  \( A(\triangle ABC) = \frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin(110^\circ) \)
  \( = \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot 0.94 \approx 22.56 \) cm²
• ➡️ Aynı alanı \( \frac{1}{2}\cdot BC\cdot AD \) olarak da yazabiliriz:
  \( 22.56 = \frac{1}{2}\cdot 11.53\cdot AD \)
  \( AD \approx 3.91 \) cm
• ➡️ Geniş açılı üçgende A köşesinin diklik merkezine uzaklığı: \( |AH| = 2\cdot R\cdot |\cos(A)| \)
  Çevrel yarıçap \( R = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{11.53}{2\cdot 0.94} \approx 6.13 \) cm
  \( |AH| = 2\cdot 6.13\cdot |\cos(110^\circ)| = 12.26\cdot 0.342 \approx 4.19 \) cm

✅ Sonuç: \( |AH| \approx 4.19 \) cm