Soru:
Köşe koordinatları D(-2, 1), E(2, 3) ve F(4, -1) olan DEF geniş açılı üçgeni veriliyor. Bu üçgenin diklik merkezi G noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
💡 Öncelikle üçgenin geniş açılı olduğunu kontrol edelim ve ardından iki kenara ait yükseklik denklemlerini yazalım.
- ➡️ 1. Adım: DE ve EF vektörlerinin iç çarpımını hesaplayarak açıyı bulmaya gerek kalmadan, diklik merkezini klasik yöntemle bulacağız. E köşesinden DF kenarına indirilen yüksekliğin denklemini yazalım. DF doğrusunun eğimi: \( m_{DF} = \frac{-1-1}{4-(-2)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \). Yükseklik bu eğime dik olacağından eğimi 3'tür. E(2,3) noktasından geçen ve eğimi 3 olan doğrunun denklemi: \( y - 3 = 3(x - 2) \) → \( y = 3x - 3 \).
- ➡️ 2. Adım: F köşesinden DE kenarına indirilen yüksekliğin denklemini yazalım. DE doğrusunun eğimi: \( m_{DE} = \frac{3-1}{2-(-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). Yükseklik bu eğime dik olacağından eğimi -2'dir. F(4,-1) noktasından geçen ve eğimi -2 olan doğrunun denklemi: \( y - (-1) = -2(x - 4) \) → \( y + 1 = -2x + 8 \) → \( y = -2x + 7 \).
- ➡️ 3. Adım: İki yükseklik denklemini ortak çözelim.
\( 3x - 3 = -2x + 7 \)
\( 5x = 10 \)
\( x = 2 \)
\( y = 3(2) - 3 = 3 \)
✅ Sonuç olarak, diklik merkezi G(2, 3) noktasıdır. Bu, E noktasıyla çakışıktır. Bu durum, E açısının geniş açı (\( >90^\circ \)) olduğunu ve diklik merkezinin üçgenin dışında, geniş açının olduğu köşeye (E'ye) yakın bir konumda (hatta bu özel durumda köşenin ta kendisi) olduğunu gösterir.
