Soru:
ABC geniş açılı bir üçgendir ve \( \widehat{A} = 120^\circ \), \( \widehat{B} = 30^\circ \), \( \widehat{C} = 30^\circ \) dir. Bu üçgenin diklik merkezi H noktasıdır. Üçgenin köşeleri A(0,0), B(4,0) ve C(1, \( \sqrt{3} \)) olarak verilmiştir. H diklik merkezinin koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
💡 Geniş açılı üçgende diklik merkezi üçgenin dışındadır. H'yi bulmak için iki yüksekliğin denklemini yazıp kesiştireceğiz.
- ➡️ 1. Adım: A köşesinden karşı kenara (BC'ye) çizilen yüksekliği bulalım. BC'nin eğimi: \( m_{BC} = \frac{\sqrt{3}-0}{1-4} = \frac{\sqrt{3}}{-3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \). Yükseklik bu eğime dik olacağından eğimi \( \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \) olur. A(0,0) noktasından geçen doğrunun denklemi: \( y = \sqrt{3}x \).
- ➡️ 2. Adım: B köşesinden karşı kenara (AC'ye) çizilen yüksekliği bulalım. AC'nin eğimi: \( m_{AC} = \frac{\sqrt{3}-0}{1-0} = \sqrt{3} \). Yükseklik bu eğime dik olacağından eğimi \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \) olur. B(4,0) noktasından geçen doğrunun denklemi: \( y - 0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 4) \).
- ➡️ 3. Adım: İki yükseklik denklemini ortak çözelim.
\( \sqrt{3}x = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 4) \)
Her iki tarafı \( \sqrt{3} \) ile çarpalım: \( 3x = -(x - 4) \)
\( 3x = -x + 4 \)
\( 4x = 4 \)
\( x = 1 \)
\( y = \sqrt{3} * 1 = \sqrt{3} \)
✅ Sonuç olarak, diklik merkezi H(1, \( \sqrt{3} \)) noktasıdır. Bu aslında C noktasının ta kendisidir! Bu durum, \( \widehat{A} = 120^\circ \) olduğu için, A'dan çıkan yüksekliğin C noktasından geçmesi ve B'den çıkan yüksekliğin de yine C'den geçmesiyle açıklanır. Yani C noktası, üçgenin diklik merkezidir.
