Geniş açılı üçgende diklik merkezi

Bir ABC geniş açılı üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 110^\circ \), |AB| = 6 cm ve |AC| = 8 cm'dir. A köşesinden [BC] kenarına çizilen yüksekliğin ayağı K, B köşesinden [AC] kenarına çizilen yüksekliğin ayağı L'dir. Diklik merkezi H olduğuna göre, |AH| uzunluğunun |AK| uzunluğuna oranı nedir? (Not: H noktası, üçgenin dışındadır.)

💡 Bu soruda diklik merkezinin konumundan faydalanarak benzer üçgenler kuracağız.

• ➡️ 1. Adım: Geniş açılı üçgende diklik merkezi, geniş açının olduğu köşenin karşısındaki kenarın dışındadır. A açısı geniş olduğu için, diklik merkezi H, [BC] kenarının karşı tarafındadır. A'dan [BC]'ye inen yükseklik [AK]'dır. H noktası, [AK] doğru parçasının A noktasının ötesinde, üçgenin dışında bir noktadır. Yani A, K ve H noktaları doğrusaldır ve K, [AH]'nın orta noktalarından biridir (A ile H arasında değildir, A-H-K sıralaması vardır).
• ➡️ 2. Adım: B'den [AC]'ye inen yükseklik [BL]'dir. H diklik merkezi olduğundan, [AH] ⊥ [BC] ve [BH] ⊥ [AC]'dir. AHCB dörtgeninde, \( \widehat{AHC} \) ile \( \widehat{ABC} \) açıları bütünlerdir (çünkü karşılıklı açıların toplamı 180°). Ancak daha pratik bir yol, AHB ve AKB üçgenlerinin benzerliğidir.
• ➡️ 3. Adım: A, H, K doğrusal ve [AH] ⊥ [BC], [AK] da zaten [BC]'ye dik olduğundan, H ve K noktaları [BC]'ye göre simetrik değildir. Bunun yerine, ABH ve ABK dik üçgenlerini düşünelim. Aslında, AHB açısı ile AKB açısı eşittir (her ikisi de 90°). Açı-Açı benzerliğinden, \( \triangle AHB \sim \triangle AKB \) yazılabilir. Bu benzerlikten: \( \frac{AH}{AK} = \frac{AB}{AB} = 1 \) gibi görünür ama bu doğru değildir çünkü H ve K farklı konumlardadır. Doğru benzerlik, \( \triangle ABH \) ile \( \triangle ABK \) arasında değildir.
• ➡️ 4. Adım: Doğru yaklaşım, A noktasından çıkan yüksekliği ve diklik merkezinin özelliğini kullanmaktır. Geniş açılı üçgende, diklik merkezinin kenarlara uzaklıkları ile ilgili trigonometrik bir ilişki vardır. |AH| = 2R cos A ve |AK| = c sin B = b sin C'dir. Ancak bu formüller karmaşık olabilir. Daha basit bir trigonometrik çözüm: AK yüksekliği, AB kenarı ve A açısı kullanılarak bulunur: |AK| = |AB| sin(∠ABK). ∠ABK açısı aslında ∠ABC değildir. AK, BC'ye dik olduğundan, ∠(AK, AB) = 90° - ∠B'dir. Bu nedenle |AK| = |AB| sin(∠B)? Hayır, daha doğrusu: A'dan [BC]'ye inen yüksekliğin uzunluğu, |AK| = |AB| sin(∠ABC)? Evet, çünkü AB hipotenüs, AK ise karşı dik kenardır. Aynı şekilde, A, H, K doğrusal olduğu için |AH|, kosinüs teoremi veya başka bir yöntemle bulunur. Ancak soruda kenar uzunlukları ve bir açı verilmiş. |AH| / |AK| oranını bulmak için şunu kullanırız: Üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R olmak üzere, |AH| = |2R cos A|'dır. Aynı zamanda, |AK| = c sin B = |AB| sin B'dir. Sinüs teoremine göre, |AB|/sin C = 2R → 2R = |AB|/sin C. O halde |AH| = (|AB|/sin C) * |cos A|. Bu durumda |AH|/|AK| = [ (|AB| |cos A|) / sin C ] / [ |AB| sin B ] = |cos A| / (sin B sin C). A=110°, B+C=70°. Spesifik değerler verilmediği için oranı A cinsinden ifade edebiliriz: sin B sin C = [cos(B-C) - cos(B+C)]/2. B ve C bilinmediği için bu formül işe yaramaz. Sorunun amacı, geniş açılı üçgende H'nin daima A'nın "ötesinde" olduğunu ve |AH| > |AK| olduğunu göstermektir. Sayısal bir değer beklenmiyorsa, cevap "tanımsız" veya "veriler yetersiz" olabilir. Ancak lise düzeyi için beklenti, |AH|/|AK| = 1/cos A olabileceğidir. Çünkü A, K, H doğrusal ve [AH] = [AK] / cos(∠KAH)? ∠KAH açısı, A açısının kendisi değildir. Pratik bir çözüm: Özel bir üçgen seçelim. A=110°, B=30°, C=40° alalım. Sinüs teoreminden: 6/sin40° = 8/sin30° = 2R → 8/sin30°=8/0.5=16=2R → R=8. |AH|=2R|cos A|=16|cos110°|=16*(-cos70°)≈16*(-0.342)≈ -5.47 (mutlak değer 5.47). |AK|=|AB|sin B? AK, BC'ye indirilen yükseklik. Alan üzerinden gidelim: Alan(ABC)= (1/2)*b*c*sin A = (1/2)*8*6*sin110°≈ (1/2)*48*0.94≈22.56. Aynı alan= (1/2)*|BC|*|AK|. |BC|'yi sinüs teoreminden bulalım: |BC|/sin110° = 2R=16 → |BC|=16*sin110°≈16*0.94=15.04. O halde 22.56 = (1/2)*15.04*|AK| → |AK|≈ (22.56*2)/15.04≈45.12/15.04≈3. Oran |AH|/|AK| ≈ 5.47/3 ≈ 1.82. 1/cos110° = 1/(-cos70°)= -1/0.342≈ -2.92. Bu eşleşmiyor. Bu nedenle soru muhtemelen orantısal bir akıl yürütme beklemektedir. Geniş açılı üçgende A, K, H noktaları doğrusal ve H, A'nın ötesinde olduğundan |AH| > |AK|'dır. Ancak verilenlerle sabit bir oran bulunamaz. Cevap olarak "Verilenlerle hesaplanamaz" veya "Üçgenin diğer açılarına bağlıdır" denilebilir.

✅ Sonuç: Verilen bilgilerle |AH|/|AK| oranı sabit bir değer olarak bulunamaz. Bu oran, üçgenin tüm açılarına bağlıdır.