Soru:
Köşe koordinatları A(-2, 0), B(2, 0) ve C(0, 1) olan üçgen veriliyor. Bu üçgenin geniş açılı olup olmadığını inceleyiniz ve diklik merkezinin konumunu belirleyiniz.
Çözüm:
💡 Önce kenar uzunluklarını hesaplayıp kosinüs teoremi uygulayacağız.
- ➡️ İlk adım: Kenar uzunluklarını hesaplayalım.
\( |AB| = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4^2} = 4 \)
\( |AC| = \sqrt{((-2)-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)
\( |BC| = \sqrt{(2-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)
- ➡️ İkinci adım: En uzun kenar AB'dir (uzunluğu 4). Karşısındaki açı C açısıdır. \( \cos(C) \) değerini hesaplayalım.
\( \cos(C) = \frac{|AC|^2 + |BC|^2 - |AB|^2}{2 \cdot |AC| \cdot |BC|} = \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - (4)^2}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 + 5 - 16}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6 \)
- ➡️ Üçüncü adım: \( \cos(C) = -0.6 < 0 \) olduğundan, C açısı geniş açıdır. Bu nedenle üçgen geniş açılıdır.
- ➡️ Dördüncü adım: Geniş açı C açısı olduğu için, diklik merkezi, C köşesinden AB kenarına çizilen yüksekliğin uzantısı üzerinde ve üçgenin dışındadır.
✅ Sonuç: Üçgen geniş açılıdır ve diklik merkezi, C köşesine ait yüksekliğin üçgenin dışında kalan kısmı üzerindedir.
