Soru:
Kenar uzunlukları \(a=8\) cm, \(b=5\) cm ve \(c=7\) cm olan bir üçgen veriliyor. Bu üçgenin geniş açılı olup olmadığını belirleyiniz ve diklik merkezinin konumu hakkında ne söylenebilir?
Çözüm:
💡 Bir üçgenin geniş açılı olup olmadığını anlamak için kosinüs teoremi ile bir açının kosinüs değerinin negatif olup olmadığına bakarız.
- ➡️ İlk adım: En uzun kenarı bulalım. \(a=8\) cm en uzun kenardır. Bu kenarın karşısındaki açı A açısıdır.
- ➡️ İkinci adım: Kosinüs teoremi ile \( \cos(A) \) değerini hesaplayalım:
\( \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7} \)
- ➡️ Üçüncü adım: \( \cos(A) = \frac{1}{7} > 0 \) olduğundan, A açısı dar açıdır. En uzun kenarın karşısındaki açı dar ise, diğer tüm açılar da dar olmak zorundadır. Bu nedenle üçgen dar açılıdır.
✅ Sonuç: Üçgen dar açılı olduğu için diklik merkezi üçgenin iç bölgesinde yer alır.
