Soru:
Kenar uzunlukları \( a = 13 \) cm, \( b = 14 \) cm, \( c = 15 \) cm olan ABC üçgeni dar açılı mıdır geniş açılı mıdır? Diklik merkezinin konumunu belirleyiniz ve diklik merkezinin B köşesine uzaklığını hesaplayınız.
Çözüm:
💡 Önce üçgenin türünü belirlemeliyiz. En uzun kenar karşısındaki açıyı kontrol edeceğiz.
- ➡️ Kosinüs teoremi ile en büyük açıyı bulalım (en uzun kenar \( a = 13 \) cm):
\( \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{14^2 + 15^2 - 13^2}{2\cdot 14\cdot 15} \)
\( = \frac{196 + 225 - 169}{420} = \frac{252}{420} = 0.6 \)
\( \widehat{A} \approx 53.13^\circ \) - dar açı
- ➡️ Şimdi \( b = 14 \) cm kenarına bakalım:
\( \cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{169 + 225 - 196}{2\cdot 13\cdot 15} \)
\( = \frac{198}{390} = 0.5077 \)
\( \widehat{B} \approx 59.5^\circ \) - dar açı
- ➡️ \( c = 15 \) cm kenarına bakalım:
\( \cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{169 + 196 - 225}{2\cdot 13\cdot 14} \)
\( = \frac{140}{364} = 0.3846 \)
\( \widehat{C} \approx 67.4^\circ \) - dar açı
- ➡️ Tüm açılar dar olduğuna göre üçgen dar açılı üçgendir.
- ➡️ Dar açılı üçgende diklik merkezi üçgenin iç bölgesinde yer alır.
- ➡️ Çevrel yarıçapı bulalım:
\( R = \frac{abc}{4A} \)
Üçgenin alanı (Heron formülü):
\( u = \frac{13+14+15}{2} = 21 \) cm
\( A = \sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)} = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt{7056} = 84 \) cm²
\( R = \frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84} = \frac{2730}{336} = 8.125 \) cm
- ➡️ \( |BH| = 2R|\cos(B)| = 2\cdot 8.125\cdot 0.5077 \approx 16.25\cdot 0.5077 \approx 8.25 \) cm
✅ Sonuç: Üçgen dar açılıdır, diklik merkezi üçgenin içindedir ve \( |BH| \approx 8.25 \) cm'dir.
