Geniş açılı üçgende diklik merkezi

Kenar uzunlukları |AB| = 7 cm, |BC| = 8 cm ve |AC| = 9 cm olan bir ABC geniş açılı üçgeni veriliyor. Bu üçgenin diklik merkezi H'dir. [BC] kenarına ait yüksekliğin ayağı D, [AC] kenarına ait yüksekliğin ayağı E'dir. B, H ve E noktalarının doğrusal olduğu bilindiğine göre, |BE| uzunluğunu bulunuz.

💡 "B, H ve E noktaları doğrusal" ifadesi, H'nin [BE] üzerinde olduğunu söyler. [BE], B köşesinden [AC] kenarına indirilen yüksekliktir. Yani H noktası bu yükseklik üzerindedir. Aynı zamanda H, A'dan [BC]'ye indirilen yüksekliğin de üzerindedir. Bu bilgi bize üçgenin geniş açısının hangi köşede olduğunu ve H'nin konumunu belirlemede yardımcı olur.

• ➡️ 1. Adım: B, H, E doğrusal ise, [BE] zaten B'den [AC]'ye çizilen yüksekliktir. Bu durumda H noktası bu yükseklik üzerinde olmalıdır. Ayrıca H, A'dan [BC]'ye inen yüksekliğin de üzerinde olacaktır. Geniş açılı üçgende diklik merkezi dışarıdadır. Eğer geniş açı B açısı ise, diklik merkezi H, [AC] kenarının karşı tarafında, B'ye yakın bir yerde olur. Ancak bu durumda H, [BE] yüksekliği üzerinde olur ama [BE]'nin B noktası ile E ayağı arasında mıdır, yoksa ötesinde midir? Geniş açı B ise, diklik merkezi H, [BE] doğru parçasının B noktasının ötesinde, üçgenin dışındadır. Yani sıralama E-B-H şeklindedir. Soruda "B, H, E doğrusal" denmiş, bu da E, B ve H'nin bu sırayla veya B, E, H sırasıyla olabileceğini gösterir. Geniş açı B ise, sıralama E-B-H olur. Ancak [BE] bir yükseklik olduğundan ve E, [AC] üzerinde olduğundan, B ile E arasında zaten üçgenin iç bölgesi vardır. H'nin üçgen dışında olması için sıralama E-B-H olmalıdır. Yani |BH| > |BE|'dir. Fakat soruda |BE| soruluyor.
• ➡️ 2. Adım: Geniş açının hangi köşede olduğunu bulalım. Kenar uzunlukları 7,8,9 cm. En uzun kenar 9 cm, yani AC kenarıdır. Geniş açı, en uzun kenarın karşısındadır. O halde geniş açı B açısıdır. Evet, \( \widehat{B} > 90^\circ \).
• ➡️ 3. Adım: [BE] yüksekliğinin uzunluğunu bulmak için alan formülünü kullanacağız. Üçgenin alanını Heron formülü ile bulalım. Çevre: u = (7+8+9)/2 = 12 cm. Alan = \( \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 * 5 * 4 * 3} = \sqrt{720} = 6\sqrt{20} = 12\sqrt{5} \) cm²? Hesaplayalım: 12*5=60, 60*4=240, 240*3=720. \( \sqrt{720} = \sqrt{144*5} = 12\sqrt{5} \) cm².
• ➡️ 4. Adım: Aynı alan, [AC] kenarı ve ona ait yükseklik [BE] kullanılarak da yazılır. [AC] = 9 cm'dir.
  Alan = (1/2) * |AC| * |BE|
  \( 12\sqrt{5} = (1/2) * 9 * |BE| \)
  \( 12\sqrt{5} = \frac{9}{2} * |BE| \)
  \( |BE| = \frac{12\sqrt{5} * 2}{9} = \frac{24\sqrt{5}}{9} = \frac{8\sqrt{5}}{3} \) cm.

✅ Sonuç olarak, |BE| uzunluğu \( \frac{8\sqrt{5}}{3} \) cm'dir. "B, H, E doğrusal" bilgisi, geniş açının B'de olduğunu teyit etmek dışında hesaplamada doğrudan kullanılmamış, ancak problemi anlamamıza yardımcı olmuştur.