Soru:
\( k(x) = \frac{x^2 - 1}{(x-1)(x^2 + 2x - 3)} \) fonksiyonunun düşey asimptotlarını bulunuz.
Çözüm:
💡 Karmaşık görünen paydaları basitleştirmek için tüm ifadeleri çarpanlarına ayırmak en iyi yoldur.
- ➡️ Adım 1: Tüm pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
- Pay: \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \)
- Payda: \( (x-1)(x^2 + 2x - 3) = (x-1)(x+3)(x-1) = (x-1)^2(x+3) \)
- ➡️ Adım 2: Fonksiyonu sadeleştirelim: \( k(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2(x+3)} = \frac{x+1}{(x-1)(x+3)} \) (Burada \( x \neq 1 \) olduğunu unutmayın).
- ➡️ Adım 3: Sadeleştirilmiş halde paydayı sıfır yapan değerleri bulalım: \( (x-1)(x+3) = 0 \) → \( x = 1 \) ve \( x = -3 \)
- ➡️ Adım 4: Bu değerler için payı kontrol edelim:
- \( x = 1 \): Pay \( 1 + 1 = 2 \neq 0 \). Ancak bu nokta sadeleştirilmiş fonksiyonun tanımsız olduğu bir noktadır ve orijinal fonksiyonda da süreksizdir. Bu bir düşey asimptottur.
- \( x = -3 \): Pay \( -3 + 1 = -2 \neq 0 \). Bu da bir düşey asimptottur.
✅ Fonksiyonun iki tane düşey asimptotu vardır: \( \boldsymbol{x = 1} \) ve \( \boldsymbol{x = -3} \).
