Soru:
Aşağıdaki fonksiyonun düşey asimptotlarını bulunuz:
\( k(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} \)
Çözüm:
💡 Bu soruda hem pay hem de payda çarpanlarına ayrılabilir durumdadır. Ortak çarpan olup olmadığına dikkat edilmelidir.
- ➡️ 1. Adım: Pay ve paydayı ayrı ayrı çarpanlarına ayıralım.
- ➡️ Pay: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
- ➡️ Payda: \( x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \)
- ➡️ 2. Adım: Fonksiyonu sadeleştirilmiş haliyle yazalım: \( k(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x + 1}{x - 1} \), \( x \neq 1 \)
- ➡️ 3. Adım: Sadeleştirilmiş fonksiyonun paydasını sıfır yapan değeri bulalım: \( x - 1 = 0 \implies x = 1 \)
- ➡️ 4. Adım: Bu değerin sadeleştirilmiş fonksiyonun payını sıfır yapıp yapmadığını kontrol edelim. Pay: \( x + 1 \). \( x = 1 \) için: \( 1 + 1 = 2 \neq 0 \) ✅
✅ Sadeleştirme sonrasında, \( x = 1 \) noktası paydayı sıfır yaparken payı sıfır yapmadığı için, bu nokta bir düşey asimptottur. Orijinal fonksiyonda \( x = 1 \) bir delik değildir çünkü paydada kalan (x-1) çarpanı hala mevcuttur.
