Soru:
Aşağıdaki rasyonel denklemi çözünüz: \( \frac{3}{x-1} = \frac{2}{x+2} \)
Çözüm:
Rasyonel denklemlerde (kesirli denklemler) temel strateji, paydaları eşitleyerek veya içler dışlar çarpımı yaparak denklemi sadeleştirmektir. ⚠️ Unutmayın, paydayı sıfır yapan değerler çözüm olamaz!
- ➡️ Adım 1: Tanım aralığını belirleyelim. Paydalar sıfır olamaz.
\( x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1 \)
\( x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2 \)
Yani, \( x \neq 1 \) ve \( x \neq -2 \) olmalıdır.
- ➡️ Adım 2: İçler dışlar çarpımı yapalım.
\( 3 \cdot (x + 2) = 2 \cdot (x - 1) \)
- ➡️ Adım 3: Parantezleri dağıtıp bilinmeyeni yalnız bırakalım.
\( 3x + 6 = 2x - 2 \)
\( 3x - 2x = -2 - 6 \)
\( x = -8 \)
- ➡️ Adım 4: Bulduğumuz çözümün tanım aralığında olup olmadığını kontrol edelim. \( x = -8 \) değeri, \( x \neq 1 \) ve \( x \neq -2 \) koşulunu sağlar.
✅ Sonuç olarak, denklemin çözüm kümesi \( \{-8\} \)'dir.
