Soru:
Aşağıdaki rasyonel denklemi çözünüz: \( \frac{3}{x-1} = \frac{2}{x+2} \)
Çözüm:
Rasyonel denklemlerde (kesirli denklemler) temel strateji, paydaları eldenizden getirerek denklemi basitleştirmektir. ⚠️ Ancak ilk iş, paydayı sıfır yapan değerleri tanım kümesinden çıkarmaktır!
- ➡️ İlk olarak, tanım kümesini belirleyelim. Paydalar sıfır olamayacağı için \( x - 1 \neq 0 \) ve \( x + 2 \neq 0 \). Yani \( x \neq 1 \) ve \( x \neq -2 \).
- ➡️ Denklemi çözmek için her iki tarafı paydaların en küçük ortak katı (EKOK'u) olan \( (x-1)(x+2) \) ile çarpalım: \( (x-1)(x+2) \cdot \frac{3}{x-1} = (x-1)(x+2) \cdot \frac{2}{x+2} \).
- ➡️ Sadeleştirme yaparsak: \( 3(x+2) = 2(x-1) \).
- ➡️ Şimdi parantezleri dağıtalım: \( 3x + 6 = 2x - 2 \).
- ➡️ Bilinmeyen terimleri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa toplayalım: \( 3x - 2x = -2 - 6 \).
- ➡️ Bu bize \( x = -8 \) sonucunu verir.
- ➡️ Bulduğumuz \( x = -8 \) değeri, tanım kümesinde belirlediğimiz kısıtlamalara (\( x \neq 1, x \neq -2 \)) uymaktadır.
✅ Sonuç olarak, denklemin çözümü \( x = -8 \)'dir.
