Soru:
Özdeş iki iletken küre, birbirlerine ince yalıtkan bir iple bağlanmış ve aralarında 2 m mesafe varken toplam \( 12 \ \mu\text{C} \) yüke sahiptir. Sistemin elektriksel potansiyel enerjisi \( 54 \ \text{mJ} \) ölçülüyor. Buna göre kürelerden birinin yükü kaç \( \mu\text{C} \)'dur?
(Verilenler: \( k = 9 \times 10^9 \ \text{N·m}^2/\text{C}^2 \))
Çözüm:
💡 İki noktasal yük gibi düşünebiliriz. Toplam yük sabit, ancak yüklerin büyüklükleri farklı olabilir.
- ➡️ Kürelerin yükleri \( q_1 \) ve \( q_2 \) olsun. Verilenler: \( q_1 + q_2 = 12 \times 10^{-6} \ \text{C} \) ve \( U = 54 \times 10^{-3} \ \text{J} \), \( r = 2 \ \text{m} \).
- ➡️ Potansiyel enerji formülü: \( U = k \frac{q_1 q_2}{r} \)
- ➡️ Bilinenleri formülde yerine koyalım: \( 54 \times 10^{-3} = (9 \times 10^9) \frac{q_1 q_2}{2} \)
- ➡️ \( q_1 q_2 \)'yi bulalım: \( 54 \times 10^{-3} = (4.5 \times 10^9) \times (q_1 q_2) \)
\( q_1 q_2 = \frac{54 \times 10^{-3}}{4.5 \times 10^9} = 12 \times 10^{-12} = 1.2 \times 10^{-11} \ \text{C}^2 \)
- ➡️ Şimdi elimizde iki denklem var:
1) \( q_1 + q_2 = 12 \times 10^{-6} \)
2) \( q_1 \cdot q_2 = 1.2 \times 10^{-11} \)
İkinci dereceden denklem çözümü uygulayacağız. \( x^2 - (q_1+q_2)x + (q_1 q_2) = 0 \)
\( x^2 - (12\times10^{-6})x + (1.2\times10^{-11}) = 0 \)
- ➡️ Diskriminantı hesaplayalım (\( a=1, b=-12\times10^{-6}, c=1.2\times10^{-11} \)):
\( \Delta = b^2 - 4ac = (12\times10^{-6})^2 - 4(1)(1.2\times10^{-11}) \)
\( \Delta = 144\times10^{-12} - 4.8\times10^{-11} = 144\times10^{-12} - 48\times10^{-12} = 96\times10^{-12} \)
\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{96\times10^{-12}} = \sqrt{96} \times 10^{-6} \approx 9.80 \times 10^{-6} \)
- ➡️ Kökleri bulalım:
\( x = \frac{12\times10^{-6} \pm 9.80\times10^{-6}}{2} \)
\( x_1 \approx \frac{21.80\times10^{-6}}{2} = 10.9 \times 10^{-6} = 10.9 \ \mu\text{C} \)
\( x_2 \approx \frac{2.20\times10^{-6}}{2} = 1.10 \times 10^{-6} = 1.10 \ \mu\text{C} \)
✅ Kürelerden birinin yükü yaklaşık 10.9 µC, diğerinin yükü ise 1.1 µC'dur.
