Üslü gösterim, bir sayının kendisiyle belirli sayıda çarpılmasını ifade eden matematiksel bir gösterimdir. Örneğin, \( 2^3 \) ifadesi, 2'nin 3 kez çarpılacağını gösterir: \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \).
A. Çarpma İşlemi: Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır.
Örnek: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
\( 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 \)
B. Bölme İşlemi: Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır.
Örnek: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (a ≠ 0)
\( \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625 \)
C. Üssün Üssü: Bir üslü sayının başka bir üssü alınırken üsler çarpılır.
Örnek: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
\( (3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 = 6561 \)
Örnek 1: \( 4^3 \times 4^5 \) işlemini yapınız.
Çözüm: \( 4^{3+5} = 4^8 = 65536 \)
Örnek 2: \( \frac{7^8}{7^3} \) işlemini yapınız.
Çözüm: \( 7^{8-3} = 7^5 = 16807 \)
Soru 1: Bir bakteri kolonisi her 20 dakikada bir ikiye bölünmektedir. Başlangıçta 8 bakteri olduğuna göre, 2 saat sonra oluşacak bakteri sayısını üslü ifade olarak hesaplayınız.
a) \(2^6\) b) \(8 \times 2^5\) c) \(2^9\) d) \(8^6\) e) \(2^{12}\)
Cevap: c) \(2^9\)
Çözüm: 2 saat = 120 dakika → 120/20 = 6 bölünme. Başlangıçtaki 8 bakteri = \(2^3\) olduğundan, \(2^3 \times 2^6 = 2^9\).
Soru 2: \(\left(\frac{5^{-2} \times 10^3}{25 \times 2^{-1}}\right)\) işleminin sonucu kaçtır?
a) 10 b) 20 c) 40 d) 80 e) 160
Cevap: d) 80
Çözüm: Pay: \(5^{-2} \times 10^3 = \frac{1000}{25} = 40\). Payda: \(25 \times 2^{-1} = \frac{25}{2}\). Sonuç: \(40 \div \frac{25}{2} = 40 \times \frac{2}{25} = \frac{80}{25} \times 25 = 80\).
Soru 3: \(x = 2^a\) ve \(y = 8^b\) olduğuna göre, \(x^3 \times y^{-1}\) ifadesinin \(a\) ve \(b\) cinsinden eşiti nedir?
a) \(2^{3a-3b}\) b) \(2^{a-3b}\) c) \(8^{a-b}\) d) \(2^{3a-b}\) e) \(2^{a-b}\)
Cevap: a) \(2^{3a-3b}\)
Çözüm: \(x^3 = (2^a)^3 = 2^{3a}\), \(y^{-1} = (8^b)^{-1} = 2^{-3b}\). Çarpım: \(2^{3a} \times 2^{-3b} = 2^{3a-3b}\).
