Standart birim vektörler (i, j) Test 2

\( \vec{u} = a\hat{i} + b\hat{j} \) birim vektör olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

A) \( a = 1 \) ve \( b = 1 \)
B) \( a + b = 1 \)
C) \( a^2 + b^2 = 1 \)
D) \( a \cdot b = 1 \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir vektörün "birim vektör" olması ne anlama geliyor ve bu bilgiyle seçeneklerimizi nasıl değerlendireceğiz, adım adım inceleyelim:

• Adım 1: Birim Vektörün Tanımı

  Bir vektörün birim vektör olması demek, o vektörün uzunluğunun (büyüklüğünün) 1'e eşit olması demektir. Matematiksel olarak, eğer $ \vec{u} $ bir birim vektör ise, $ |\vec{u}| = 1 $ olmalıdır.

• Adım 2: Verilen Vektörün Büyüklüğünü Hesaplama

  Genel olarak, $ \vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} $ şeklinde verilen bir vektörün büyüklüğü (uzunluğu) $ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} $ formülü ile bulunur.

  Bizim sorumuzdaki vektör $ \vec{u} = a\hat{i} + b\hat{j} $ olduğuna göre, bu vektörün büyüklüğü $ |\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2} $ olacaktır.

• Adım 3: Birim Vektör Koşulunu Uygulama

  Adım 1'de öğrendiğimiz gibi, $ \vec{u} $ bir birim vektör olduğu için büyüklüğü 1'e eşit olmalıdır. Bu durumda, Adım 2'de bulduğumuz büyüklüğü 1'e eşitlemeliyiz:

  $ \sqrt{a^2 + b^2} = 1 $

• Adım 4: Eşitliği Sadeleştirme

  Elde ettiğimiz $ \sqrt{a^2 + b^2} = 1 $ eşitliğinin her iki tarafının karesini alarak karekökten kurtulabiliriz. Bu işlem, eşitliğin değerini değiştirmeyecektir:

  $ (\sqrt{a^2 + b^2})^2 = 1^2 $

  $ a^2 + b^2 = 1 $

• Adım 5: Seçenekleri Değerlendirme

  Elde ettiğimiz $ a^2 + b^2 = 1 $ eşitliği, seçenekler arasında C seçeneği ile tamamen aynıdır. Bu, bir vektörün birim vektör olmasının temel ve her zaman geçerli koşuludur.

  Diğer seçeneklerin neden her zaman doğru olmadığını da kısaca inceleyelim:

  • A) $ a = 1 $ ve $ b = 1 $: Bu durumda $ \vec{u} = \hat{i} + \hat{j} $ olurdu. Bu vektörün büyüklüğü $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $ olurdu, ki bu 1 değildir. Dolayısıyla bu seçenek her zaman doğru değildir.
  • B) $ a + b = 1 $: Örneğin, $ a = 2 $ ve $ b = -1 $ için $ a + b = 1 $ olur. Ancak $ a^2 + b^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 \neq 1 $. Yani bu seçenek de her zaman doğru değildir.
  • D) $ a \cdot b = 1 $: Örneğin, $ a = 2 $ ve $ b = 0.5 $ için $ a \cdot b = 1 $ olur. Ancak $ a^2 + b^2 = 2^2 + (0.5)^2 = 4 + 0.25 = 4.25 \neq 1 $. Bu seçenek de her zaman doğru değildir.

Cevap C seçeneğidir.