f(x) = |x² - 4| fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Türevi 4'türBugün, mutlak değer içeren bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = |x^2 - 4|$ ve türevini $x = 2$ noktasında arıyoruz.
Mutlak değer fonksiyonları, içindeki ifadenin işaretine göre farklı şekillerde tanımlanır. Genel olarak, $|u|$ ifadesi:
Eğer $u \ge 0$ ise, $|u| = u$
Eğer $u < 0$ ise, $|u| = -u$
Bizim fonksiyonumuzda $u = x^2 - 4$. Bu ifadenin $x=2$ noktasındaki değerini bulalım:
$x^2 - 4 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
Gördüğümüz gibi, $x=2$ noktasında mutlak değerin içi sıfır oluyor. Bu tür noktalar, mutlak değer fonksiyonlarının "köşe" yaptığı ve türevinin var olmayabileceği kritik noktalardır.
Türevin var olup olmadığını anlamak için, $x=2$ noktasının hemen solunda ve hemen sağında fonksiyonun nasıl davrandığına bakmamız gerekir.
$x > 2$ için: Örneğin $x=2.1$ alalım. $x^2 - 4 = (2.1)^2 - 4 = 4.41 - 4 = 0.41 > 0$. Yani $x^2 - 4$ pozitif. Bu durumda, $f(x) = |x^2 - 4| = x^2 - 4$ olur.
$x < 2$ için: Örneğin $x=1.9$ alalım. $x^2 - 4 = (1.9)^2 - 4 = 3.61 - 4 = -0.39 < 0$. Yani $x^2 - 4$ negatif. Bu durumda, $f(x) = |x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$ olur.
Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunu $x=2$ etrafında parçalı olarak şöyle yazabiliriz:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{eğer } x \ge 2 \\ 4 - x^2, & \text{eğer } x < 2 \end{cases}$
Not: $x=2$ noktasında her iki ifade de $0$ olduğu için, $x \ge 2$ veya $x > 2$ şeklinde yazmak fark etmez, çünkü süreklilik sağlanır.
Bir noktada türevin var olabilmesi için, o noktadaki sol türev ile sağ türevin birbirine eşit olması gerekir.
Sağ Türev ($x \to 2^+$): $x > 2$ için $f(x) = x^2 - 4$ idi. Bu kısmın türevini alalım:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4) = 2x$.
$x=2$ noktasındaki sağ türev: $f'(2^+) = 2(2) = 4$.
Sol Türev ($x \to 2^-$): $x < 2$ için $f(x) = 4 - x^2$ idi. Bu kısmın türevini alalım:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(4 - x^2) = -2x$.
$x=2$ noktasındaki sol türev: $f'(2^-) = -2(2) = -4$.
Sol türevimiz $f'(2^-) = -4$ ve sağ türevimiz $f'(2^+) = 4$ olarak bulundu.
Gördüğümüz gibi, $f'(2^-) \ne f'(2^+)$ olduğundan, yani sol ve sağ türevler birbirine eşit olmadığından, $f(x)$ fonksiyonunun $x=2$ noktasında türevi yoktur.
Bu durum, fonksiyonun grafiğinde $x=2$ noktasında "köşe" veya "kırılma" noktası olduğu anlamına gelir. Bir fonksiyonun grafiğinde keskin bir köşe varsa, o noktada türev tanımlı değildir.
Cevap C seçeneğidir.
