Sayı doğrusu üzerinde $\sqrt{2}$ ve $\sqrt{3}$ gibi iki irrasyonel sayı işaretleniyor. Bu iki sayı arasında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle bulunur?
A) Sadece bir tam sayıMerhaba sevgili öğrencilerim! Bugün, sayı doğrusu üzerindeki irrasyonel sayılar arasındaki sayılar konusunu inceleyeceğiz. Özellikle $\sqrt{2}$ ve $\sqrt{3}$ arasındaki sayılara odaklanacağız. Unutmayın, matematik sadece formüllerden ibaret değil, aynı zamanda düşünme ve akıl yürütme sanatıdır!
Öncelikle, $\sqrt{2}$ ve $\sqrt{3}$'ün yaklaşık değerlerini hatırlayalım:
Şimdi de sayı doğrusunu gözümüzde canlandıralım. 1.414 ile 1.732 arasında hangi tür sayılar olabilir?
A) Sadece bir tam sayı:
Bu seçeneği değerlendirelim. 1.414 ile 1.732 arasında 1'den başka bir tam sayı var mı? Hayır, yok. Dolayısıyla bu seçenek doğru olamaz.
B) Sonsuz sayıda tam sayı:
Az önce gördük ki, 1.414 ile 1.732 arasında hiçbir tam sayı yok. Sonsuz sayıda tam sayı olması mümkün değil. Bu seçeneği de eliyoruz.
C) Sonsuz sayıda rasyonel sayı ve sonsuz sayıda irrasyonel sayı:
İşte geldik kritik noktaya! Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı şeklinde yazılabilen sayılardır (örneğin, 1/2, 3/4, -5/7). İrrasyonel sayılar ise bu şekilde yazılamayan sayılardır (örneğin, $\sqrt{2}$, $\pi$). Sayı doğrusunda herhangi iki farklı sayı arasında (ister rasyonel olsun, ister irrasyonel) her zaman sonsuz sayıda rasyonel ve sonsuz sayıda irrasyonel sayı bulunur. Bu, sayı doğrusunun temel özelliklerinden biridir. Bu seçeneğin doğru olma ihtimali yüksek!
Örneğin, $\sqrt{2}$ ve $\sqrt{3}$ arasında 1.5 (3/2 rasyonel), 1.45 (29/20 rasyonel), 1.6 (8/5 rasyonel) gibi sonsuz sayıda rasyonel sayı bulabiliriz. Aynı şekilde, $\sqrt{2.1}, \sqrt{2.2}, \sqrt{2.5} $ gibi sonsuz sayıda irrasyonel sayı da bulabiliriz. Bu sayılar $\sqrt{2}$ ve $\sqrt{3}$ arasındadır ve kök dışına tam olarak çıkamadıkları için irrasyoneldirler.
D) Hiçbir rasyonel sayı:
C seçeneğini değerlendirirken rasyonel sayıların varlığını gösterdik. Dolayısıyla bu seçenek kesinlikle yanlış.
Sonuç olarak, $\sqrt{2}$ ve $\sqrt{3}$ arasında sonsuz sayıda rasyonel sayı ve sonsuz sayıda irrasyonel sayı bulunur.
Cevap C seçeneğidir.
