Soru:
Bir fabrikada üretilen ürünler paketlenmektedir. 90'arli paket yapıldığında 5 ürün, 120'şerli paket yapıldığında ise 8 ürün artıyor. Buna göre, bu fabrikada üretilen ürün sayısı en az kaçtır?
Çözüm:
💡 Bu problem, "kalan veren" bir EKOK sorusudur. Ürün sayısı, 90'ın katından 5 fazla (yani 5 eksiği 90-5=85'in katı) ve aynı zamanda 120'nin katından 8 fazla (yani 8 eksiği 120-8=112'nin katı) olmalıdır. Bu durumda sayıyı bulmak için 85 ve 112'nin EKOK'unu alırız.
- ➡️ Ürün sayısına A diyelim. Soruya göre:
\(A = 90a + 5\) ve \(A = 120b + 8\)
Bu denklemler şu anlama gelir:
\(A - 5 = 90a\) ve \(A - 8 = 120b\)
Yani (A-5) 90'ın katı, (A-8) ise 120'nin katıdır. İki kalan da farklı olduğu için ortak bir kalan bulup düzeltme yapamayız. Ancak, her iki durumda da paketleme tamamlanamadığı için, ürün sayısının hem 90'ın hem de 120'nin ortak bir katından belirli bir miktar fazla olması gerekir. Bu tür sorularda genellikle sayı, bu iki bölenin EKOK'unun katından bir miktar eksik çıkar. Bu yüzden farklı bir yaklaşım deneyelim.
- ➡️ Problemi yeniden yazalım:
90'a bölündüğünde 5 kalanını veren sayılar: 5, 95, 185, 275, 365, ...
120'ye bölündüğünde 8 kalanını veren sayılar: 8, 128, 248, 368, ...
- ➡️ İki listede ortak olan ilk sayıyı arayalım. 90'a bölümden 95, 185, 275, 365... 120'ye bölümden 128, 248, 368... Görüldüğü gibi 368, her iki koşulu da sağlar. (368 ÷ 90 = 4 kalan 5; 368 ÷ 120 = 3 kalan 8)
- ➡️ Bu sayıyı EKOK yöntemiyle de bulabiliriz. İki kalan da bölenlerden küçük olduğu için, ürün sayısına x dersek, (x-5) 90'ın katı ve (x-8) 120'nin katıdır. Bu iki koşulu aynı anda sağlayan bir x bulmak için 90 ve 120'nin EKOK'una bakalım.
90 = \(2 \times 3^2 \times 5\)
120 = \(2^3 \times 3 \times 5\)
EKOK(90,120) = \(2^3 \times 3^2 \times 5 = 360\)
Demek ki x-5 ve x-8, 360'ın katları olmalı. Aradaki fark (x-5) - (x-8) = 3'tür. Yani 360'ın katlarının arasında 3 fark olan iki kat bulmalıyız. 360'ın katları: 360, 720, 1080...
360 ve 363 (360+3) arasında 3 fark vardır. x-8 = 360 ve x-5 = 363 alırsak, x = 368 bulunur.
✅ Sonuç: Fabrikada üretilen ürün sayısı en az 368'dir.
