Soru:
\( \mathbb{Q} \) rasyonel sayılar kümesinde \( \frac{1}{3} \) ve \( \frac{1}{2} \) arasında bir rasyonel sayı var mıdır? Arada olma özelliği \( \mathbb{Q} \)'de sağlanır mı?
Çözüm:
💡 Rasyonel sayılar, \( \frac{a}{b} \) (b≠0) şeklinde yazılabilen sayılardır. İki farklı rasyonel sayı arasında her zaman başka bir rasyonel sayı bulunabilir.
- ➡️ \( \frac{1}{3} \) ve \( \frac{1}{2} \) sayılarını alalım.
- ➡️ Bu iki sayının arasında bir sayı bulmanın standart yolu ortalamalarını almaktır: \( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{5}{6}}{2} = \frac{5}{12} \).
- ➡️ \( \frac{5}{12} \) sayısı bir rasyonel sayıdır ve \( \frac{1}{3} < \frac{5}{12} < \frac{1}{2} \) eşitsizliğini sağlar.
- ➡️ Daha genel olarak, herhangi iki farklı rasyonel sayının aritmetik ortalaması da bir rasyonel sayıdır ve daima bu iki sayının arasında yer alır. Bu işlem sonsuz kez tekrarlanabilir.
✅ Sonuç: Herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında daima başka bir rasyonel sayı bulunabildiği için, rasyonel sayılar kümesi \( \mathbb{Q} \)'de arada olma özelliği vardır.
