Soru:
Aşağıdaki kümelerden hangisinde arada olma özelliği vardır?
- A) Doğal sayılar kümesi (ℕ)
- B) Tam sayılar kümesi (ℤ)
- C) Rasyonel sayılar kümesi (ℚ)
- D) İrrasyonel sayılar kümesi (ℝ\ℚ)
Çözüm:
💡 Arada olma özelliği: Bir kümede herhangi iki farklı eleman alındığında, bu iki elemanın arasında daima o kümeye ait başka bir eleman bulunabiliyorsa, o küme arada olma özelliğine sahiptir.
- ➡️ A) Doğal sayılar (ℕ): 1 ve 2'yi alalım. Bu iki sayının arasında (1 < x < 2) hiçbir doğal sayı yoktur. ❌ Özellik YOK.
- ➡️ B) Tam sayılar (ℤ): 0 ve 1'i alalım. Bu iki sayının arasında (0 < x < 1) hiçbir tam sayı yoktur. ❌ Özellik YOK.
- ➡️ C) Rasyonel sayılar (ℚ): Herhangi iki farklı rasyonel sayı, \(a\) ve \(b\), alınsın. Bu sayıların aritmetik ortalaması, \(\frac{a+b}{2}\), daima bir rasyonel sayıdır ve \(a\) ile \(b\) arasındadır. ✅ Özellik VAR.
- ➡️ D) İrrasyonel sayılar (ℝ\ℚ): \(\sqrt{2}\) ve \(\sqrt{3}\)'ü alalım. Bu iki sayının arasında örneğin 1.7 gibi bir rasyonel sayı vardır. Yani her zaman arada irrasyonel bir sayı bulamayız. ❌ Özellik YOK.
✅ Sonuç: Arada olma özelliği sadece Rasyonel Sayılar Kümesi (ℚ)'nde ve tabii ki onu da kapsayan Reel Sayılar Kümesi (ℝ)'nde vardır. Cevap C'dir.
