Soru:
\( \mathbb{R} \) gerçek sayılar kümesinde \( \sqrt{2} \) ve \( \sqrt{3} \) arasında bir gerçek sayı var mıdır? Arada olma özelliği \( \mathbb{R} \)'de sağlanır mı?
Çözüm:
💡 Gerçek sayılar kümesi, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur. Sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları temsil eder.
- ➡️ \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) ve \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) sayılarını alalım.
- ➡️ Bu iki sayının aritmetik ortalamasını alalım: \( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} \).
- ➡️ Bu ortalama değer, \( \sqrt{2} \)'den büyük ve \( \sqrt{3} \)'ten küçüktür. Ayrıca, bu değerin kendisi de bir gerçek sayıdır (hemen gözlemlenebilecek rasyonel veya irrasyonel bir sayı olabilir).
- ➡️ Gerçek sayılar kümesi, "süreklilik" özelliğine sahiptir. Bu, herhangi iki farklı gerçek sayı arasında sonsuz sayıda başka gerçek sayı bulunabileceği anlamına gelir. Bu sayılar rasyonel (örneğin 1.5) veya irrasyonel (örneğin \( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2} \)) olabilir.
✅ Sonuç: Herhangi iki farklı gerçek sayı arasında daima başka bir gerçek sayı bulunabildiği için, gerçek sayılar kümesi \( \mathbb{R} \)'de arada olma özelliği vardır.
