Soru:
\(A = \{x \in \mathbb{R} | 0 < x < 5\}\) açık aralığı arada olma özelliğine sahip midir? Açıklayınız.
Çözüm:
💡 Bir kümenin arada olma özelliğine sahip olması için, kümeden seçilen herhangi iki farklı elemanın arasında daima yine o kümeye ait bir eleman bulunmalıdır.
- ➡️ Kümemiz, \(A = (0, 5)\) açık aralığıdır. Bu, 0'dan büyük ve 5'ten küçük tüm reel sayıları içerir.
- ➡️ Bu kümeden rastgele iki farklı sayı seçelim: \(a\) ve \(b\) (Diyelim ki \(a < b\)).
- ➡️ Bu iki sayının arasında kalan herhangi bir sayı, örneğin aritmetik ortalamaları \(c = \frac{a+b}{2}\), her zaman \(a\) ve \(b\) arasında olacaktır (\(a < c < b\)).
- ➡️ Ayrıca, \(a\) ve \(b\) 0'dan büyük ve 5'ten küçük olduğu için, \(c\) de 0'dan büyük ve 5'ten küçük olacaktır. Yani \(c\) kesinlikle \(A\) kümesinin bir elemanıdır.
✅ Sonuç: \(A\) kümesinden alınan herhangi iki farklı elemanın arasında daima \(A\) kümesine ait bir eleman bulunabildiği için, \((0, 5)\) açık aralığı arada olma özelliğine sahiptir.
