Soru:
\(C = \{ \frac{1}{n} | n \in \mathbb{N} \}\) kümesi (yani \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...\) kümesi) arada olma özelliğine sahip midir? Cevabınızı mantıklı bir şekilde açıklayınız.
Çözüm:
💡 Bu küme, paydası bir doğal sayı olan birim kesirlerden oluşur. Özelliği test etmek için kümeden iki eleman seçip aralarında kümeden bir eleman olup olmadığına bakacağız.
- ➡️ Kümemiz: \(C = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, ...\}\)
- ➡️ İki eleman seçelim: \(\frac{1}{2}\) ve \(\frac{1}{3}\). Sıralama: \(\frac{1}{3} < \frac{1}{2}\).
- ➡️ Bu iki sayının arasında (\(\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\)) \(C\) kümesine ait bir eleman var mı? Örneğin, \(\frac{1}{2.5}\) gibi bir sayı aradadır ama \(\frac{1}{2.5} = \frac{2}{5}\) ifadesinin paydası bir doğal sayı değildir, bu nedenle \(C\) kümesine ait değildir.
- ➡️ \(\frac{1}{3}\) ve \(\frac{1}{2}\) arasında kalan ve paydası doğal sayı olan bir kesir bulmaya çalışalım. \(\frac{1}{3} \approx 0.333\) ve \(\frac{1}{2} = 0.5\). Aradaki bir sonraki en büyük eleman \(\frac{1}{4} = 0.25\)'tir ki bu \(\frac{1}{3}\)'ten de küçüktür. \(\frac{1}{3}\)'ten sonra gelen eleman \(\frac{1}{4}\) değil, \(\frac{1}{5}=0.2\)'dir. Görüldüğü gibi, kümenin elemanları 1'den başlayarak sürekli azalır ve hiçbir zaman birbirine "yeterince yakın" değildir. \(\frac{1}{3}\) ve \(\frac{1}{2}\) arasında bu kümeden hiçbir eleman yoktur.
✅ Sonuç: Kümeden seçilen \(\frac{1}{2}\) ve \(\frac{1}{3}\) elemanlarının arasında \(C\) kümesine ait başka bir eleman bulunamadığı için, \(C\) kümesi arada olma özelliğine sahip değildir.
