Soru:
\(\vec{m} = 2\vec{i} + k\vec{j}\) ve \(\vec{n} = (k+1, 4)\) vektörleri eşittir. Buna göre, \(\vec{m} + \vec{n}\) vektörünün bileşenlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Önce eşitlikten bilinmeyen \(k\) değerini bulmalı, sonra toplam vektörü hesaplamalıyız.
- ➡️ Vektörleri Açıklayalım: \(\vec{m} = 2\vec{i} + k\vec{j} = (2, k)\) ve \(\vec{n} = (k+1, 4)\)
- ➡️ Eşit Vektör Koşulunu Uygulayalım: Karşılıklı bileşenler eşit olmalı.
1. Bileşen: \(2 = k + 1\) → Buradan \(k = 1\) bulunur.
2. Bileşen (Kontrol): \(k = 4\) olmalı ama 1. bileşenden k=1 bulduk. Bir çelişki var! Demek ki eşitlik için her iki bileşen de sağlanmalı. 2. bileşen eşitliği: \(k = 4\) olmalı. İki denklem aynı anda sağlanmıyor (\(2 = 4+1\) ve \(1=4\) yanlış). Bu durumda vektörler eşit değildir ve soru hatalı gibi görünüyor. Ancak, sorunun amacı genel yöntemi göstermekse, k'yı bulmak için bir bileşen seçebiliriz. En doğrusu, iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurmaktır. 1. bileşenden \(k=1\), 2. bileşenden \(k=4\) gelir. Bu bir çelişkidir, dolayısıyla bu koşulları sağlayan bir \(k\) değeri yoktur. Vektörler eşit olamaz. Soruyu "eşitlerse" varsayımıyla çözmek gerekir. Genellikle bu tip sorularda bileşenler tutarlı çıkar. Bu örnekte hata yapıldığını görüyoruz. Doğrusu için \(\vec{n}\)'nin ikinci bileşeni farklı olmalıydı. Biz soruyu, 1. bileşen eşitliğinden k=1 bularak ve vektörleri bu k değeriyle toplayarak çözelim.
- ➡️ k Değerini Yerine Koyalım: k=1 için, \(\vec{m} = (2, 1)\) ve \(\vec{n} = (1+1, 4) = (2, 4)\) olur. (Vektörler eşit değil çünkü ikinci bileşenler farklı: 1 ≠ 4)
- ➡️ Toplam Vektörü Bulalım: \(\vec{m} + \vec{n} = (2+2, 1+4) = (4, 5)\)
✅ Sonuç: Vektörler verilen koşulda eşit olmasa da, k=1 için \(\vec{m} + \vec{n} = (4, 5)\) bulunur.
