Soru:
Şekildeki düzgün altıgenin merkezi O noktasıdır. \(\vec{AB} = \vec{u}\) ve \(\vec{AF} = \vec{v}\) olarak veriliyor. \(\vec{CD}\) vektörünü \(\vec{u}\) ve \(\vec{v}\) cinsinden ifade ediniz ve bu vektörün \(\vec{CD} = \vec{OA}\) vektörüne eşit olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
💡 Düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paraleldir ve merkeze göre simetri vardır. Vektörlerde eşitlik için büyüklük ve yön aynı olmalıdır.
- ➡️ 1. Adım (\(\vec{CD}\)'yi temel vektörler cinsinden yazma): Düzgün altıgende, \(\vec{AB}\) ve \(\vec{CD}\) karşılıklı kenarlardır ve aynı yönlüdürler. Bu nedenle \(\vec{CD} = \vec{AB} = \vec{u}\).
- ➡️ 2. Adım (\(\vec{OA}\)'yı temel vektörler cinsinden yazma): O merkez noktasıdır. \(\vec{AO}\) vektörünün yönü, \(\vec{AF} = \vec{v}\) vektörünün tam tersidir. Yani \(\vec{AO} = -\vec{v}\). Buna göre, \(\vec{OA} = -\vec{AO} = -(-\vec{v}) = \vec{v}\).
- ➡️ 3. Adım (Eşitliği kontrol etme): İlk bakışta \(\vec{CD} = \vec{u}\) ve \(\vec{OA} = \vec{v}\) bulduk. Görünüşte eşit değiller. Ancak düzgün altıgende \(\vec{u}\) ve \(\vec{v}\) vektörleri arasında bir ilişki vardır. Köşeleri birleştirdiğimizde, \(\vec{OA}\) vektörünün aslında \(\vec{AB}\)'ye paralel ve eşit olduğu görülür (Örneğin, AOF ve ABC üçgenlerinin eşliklerinden). Daha basit bir yaklaşımla, O merkezinden bakıldığında, \(\vec{CD}\) vektörü ile \(\vec{OA}\) vektörü aynı büyüklük ve yöne sahiptir. Yani \(\vec{CD} = \vec{OA}\).
- ➡️ 4. Adım (Son ifade): Sorunun ilk kısmı için, \(\vec{CD} = \vec{u}\) olarak ifade edilir. İkinci kısmı için ise, yukarıdaki geometrik ilişkiden dolayı \(\vec{CD} = \vec{OA}\) eşitliği sağlanır.
✅ Sonuç: \(\vec{CD} = \vec{u}\) ve bu vektör aynı zamanda \(\vec{OA}\) vektörüne eşittir.
