Soru:
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm bölgesini bulunuz. Bu bölgenin sınırlarını belirten doğruları çizip, çözüm bölgesini tarayınız.
\(x \geq 0\)
\(y \geq 0\)
\(x + y \leq 5\)
Çözüm:
💡 Bu sistem, analitik düzlemde sınırlı bir bölge (bir üçgen) tanımlar. Genellikle optimizasyon problemlerinde karşımıza çıkar.
- ➡️ Birinci eşitsizlik: \(x \geq 0\) → y-ekseninin sağ tarafındaki tüm noktalar (y-ekseni dahil).
- ➡️ İkinci eşitsizlik: \(y \geq 0\) → x-ekseninin üst tarafındaki tüm noktalar (x-ekseni dahil).
İlk iki eşitsizlik bize birinci bölgeyi (x ve y'nin pozitif olduğu bölge) verir.
- ➡️ Üçüncü eşitsizlik: \(x + y \leq 5\)
Sınır doğrusu: \(x + y = 5\). Eksenleri kestiği noktalar: (5,0) ve (0,5). Eşitsizlik "≤" olduğu için doğru sürekli çizgi ile çizilir.
Test noktası (0,0): \(0 + 0 \leq 5 \Rightarrow 0 \leq 5\) → Doğru. O halde çözüm bölgesi, doğrunun (0,0) noktasının bulunduğu tarafında, yani alt sol tarafındadır.
- ➡️ Son adım: Tüm eşitsizliklerin çözüm bölgelerinin kesişimini alırız. Bu, birinci bölgede (x≥0, y≥0) ve aynı zamanda \(x + y \leq 5\) koşulunu sağlayan bölgedir. Bu bölge, (0,0), (5,0) ve (0,5) noktalarını köşe kabul eden bir dik üçgendir.
✅ Sonuç: Çözüm kümesi, köşe noktaları (0,0), (5,0) ve (0,5) olan üçgensel kapalı bölgedir.
