Soru:
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm bölgesini analitik düzlemde gösteriniz.
\( x + y \leq 4 \)
\( x \geq 1 \)
\( y > 0 \)
Çözüm:
💡 Bu bir eşitsizlik sistemidir. Çözüm bölgesi, tüm eşitsizlikleri aynı anda sağlayan \((x, y)\) noktalarının kümesidir.
- ➡️ 1. Adım: \(x + y \leq 4\) eşitsizliği. Önce sınır doğrusunu çizelim: \(x + y = 4\). Bu doğru (0,4) ve (4,0) noktalarından geçer. Eşitsizlik "\(\leq\)" olduğu için doğru, çözüm bölgesine dahildir (kesikli çizgi değil, sürekli çizgi). \((0,0)\) noktasını test edelim: \(0 + 0 \leq 4\) → \(0 \leq 4\) (Doğru). O halde doğrunun alt bölgesi (orijini içeren taraf) taranır.
- ➡️ 2. Adım: \(x \geq 1\) eşitsizliği. Sınır doğrusu \(x = 1\)'dir. Eşitsizlik "\(\geq\)" olduğu için doğru dahildir. \((2,0)\) noktasını test edelim: \(2 \geq 1\) (Doğru). O halde doğrunun sağ tarafı taranır.
- ➡️ 3. Adım: \(y > 0\) eşitsizliği. Sınır doğrusu \(y = 0\) (x-ekseni)'dir. Eşitsizlik "\(>\)" olduğu için doğru dahil değildir (kesikli çizgi). \((0,1)\) noktasını test edelim: \(1 > 0\) (Doğru). O halde x-ekseninin üst tarafı taranır.
- ➡️ 4. Adım: Üç taramanın kesiştiği ortak bölge, sistemin çözüm bölgesidir. Bu bölge, \(x=1\) doğrusunun sağında, x-ekseninin üstünde ve \(x+y=4\) doğrusunun altında kalan üçgensel alandır.
✅ Sonuç olarak, çözüm bölgesi köşe noktaları (1,0), (1,3) ve (4,0) olan (ancak (1,0) ve (4,0) noktaları \(y>0\) koşulunu sağlamadığı için dahil değildir) bir üçgensel bölgedir.
