Soru:
Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm bölgesini belirleyiniz.
\( y \geq 2x - 1 \)
\( y < -x + 3 \)
Çözüm:
💡 Bu sistemde iki eşitsizlik vardır ve her birinin sınırı bir doğrudur.
- ➡️ 1. Adım: \(y \geq 2x - 1\) eşitsizliği. Sınır doğrusu \(y = 2x - 1\)'dir. Eğim 2, y-keseni -1'dir. Eşitsizlik "\(\geq\)" olduğu için doğru dahildir (sürekli çizgi). \((0,0)\) noktasını test edelim: \(0 \geq 2(0)-1\) → \(0 \geq -1\) (Doğru). O halde doğrunun üst bölgesi (orijini içeren taraf) taranır.
- ➡️ 2. Adım: \(y < -x + 3\) eşitsizliği. Sınır doğrusu \(y = -x + 3\)'tür. Eğim -1, y-keseni 3'tür. Eşitsizlik "<" olduğu için doğru dahil değildir (kesikli çizgi). \((0,0)\) noktasını test edelim: \(0 < -(0) + 3\) → \(0 < 3\) (Doğru). O halde doğrunun alt bölgesi (orijini içeren taraf) taranır.
- ➡️ 3. Adım: İki taramanın kesişimi alınır. Bu, \(y = 2x - 1\) doğrusunun üstünde (doğru dahil) VE aynı zamanda \(y = -x + 3\) doğrusunun altında (doğru dahil değil) kalan bölgedir.
- ➡️ 4. Adım (Kontrol): İki doğrunun kesişim noktasını bulalım: \(2x - 1 = -x + 3\) → \(3x = 4\) → \(x = \frac{4}{3}\). \(y = 2(\frac{4}{3}) - 1 = \frac{8}{3} - \frac{3}{3} = \frac{5}{3}\). Kesişim noktası \((\frac{4}{3}, \frac{5}{3})\)'tür. Bu nokta ilk eşitsizlikte "\(\geq\)" olduğu için dahildir, ancak ikinci eşitsizlikte "<" olduğu için dahil değildir. Bu bir çelişki gibi görünebilir, ancak bu nokta çözüm bölgesinin sınırında yer alır ve ikinci eşitsizlik gereği bölgeye dahil değildir.
✅ Sonuç: Çözüm bölgesi, iki doğru arasında kalan ve \((\frac{4}{3}, \frac{5}{3})\) noktasının dışarıda bırakıldığı açık bölgedir.
