Soru:
Birbirine dik olan \( d_1: (k+1)x + 2y - 5 = 0 \) ve \( d_2: 3x - (k-2)y + 7 = 0 \) doğruları veriliyor. Buna göre \( k \) değerini bulunuz.
Çözüm:
💡 İki doğru birbirine dik ise eğimleri çarpımı \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) olur. Önce eğimleri \( k \) cinsinden bulmalıyız.
- ➡️ 1. Adım: \( d_1 \)'in eğimini bulalım. \( (k+1)x + 2y - 5 = 0 \rightarrow 2y = -(k+1)x + 5 \rightarrow y = -\frac{(k+1)}{2}x + \frac{5}{2} \). Dolayısıyla \( m_1 = -\frac{(k+1)}{2} \).
- ➡️ 2. Adım: \( d_2 \)'nin eğimini bulalım. \( 3x - (k-2)y + 7 = 0 \rightarrow -(k-2)y = -3x - 7 \rightarrow (k-2)y = 3x + 7 \rightarrow y = \frac{3}{k-2}x + \frac{7}{k-2} \). Dolayısıyla \( m_2 = \frac{3}{k-2} \).
- ➡️ 3. Adım: Diklik koşulunu yazalım. \( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
\( \left( -\frac{(k+1)}{2} \right) \cdot \left( \frac{3}{k-2} \right) = -1 \)
- ➡️ 4. Adım: Denklemi çözelim. \( -\frac{3(k+1)}{2(k-2)} = -1 \rightarrow \frac{3(k+1)}{2(k-2)} = 1 \rightarrow 3(k+1) = 2(k-2) \rightarrow 3k + 3 = 2k - 4 \rightarrow k = -7 \)
✅ Sonuç: Doğruların dik olması için \( k \) değeri \( -7 \) olmalıdır.
