Soru:
Bir iskambil destesinden (52 kart) peş peşe ve geri konulmamak şartıyla 2 kart çekiliyor.
- Çekilen ilk kartın Maça, ikinci kartın da As olma olasılığı nedir?
Çözüm:
💡 Kartlar geri konulmadığı için olaylar bağımlıdır. İlk çekilen kart, destedeki As sayısını ve toplam kart sayısını değiştirebilir.
- ➡️ 1. Adım: İlk kartın Maça olma olasılığını bulalım. Destede 13 Maça vardır. \( P(M) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \)
- ➡️ 2. Adım: İlk kart bir Maça çekildikten sonra durumu iki senaryoda inceleyelim. İkinci kartın As olması isteniyor. Destede 4 As vardır. Ancak ilk çekilen Maça kartı bir As olabilir mi? Evet, olabilir! Bu yüzden iki farklı koşullu olasılık düşünmeliyiz.
- ➡️ 3. Adım (Senaryo 1): İlk çekilen Maça bir As değilse. Bu durumda destede 51 kart kalır ve 4 As hepsi duruyordur. Olasılık: \( P(A | M \text{ ve As değil}) = \frac{4}{51} \)
- ➡️ 3. Adım (Senaryo 2): İlk çekilen Maça bir As ise. Bu durumda destede 51 kart kalır ve artık sadece 3 As kalmıştır. Olasılık: \( P(A | M \text{ ve As}) = \frac{3}{51} \)
- ➡️ 4. Adım: İlk kartın As olan veya olmayan bir Maça gelme olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayıp toplarız.
- İlk kartın As'lı Maça gelme olasılığı: \( \frac{1}{52} \)? Hayır! Maçaların içinden bir As seçme olasılığı: \( \frac{1}{13} \)? Daha iyi bir yol: İlk kartın sadece bir Maça (As olup olmaması önemsiz) gelme olasılığı \( \frac{13}{52} \)'dir. Bu 13 maçanın 1 tanesi As, 12 tanesi As değildir.
- İlk kart As olmayan bir Maça ise: Olasılık \( \frac{12}{52} \), Koşullu Olasılık \( \frac{4}{51} \). Çarpım: \( \frac{12}{52} \times \frac{4}{51} = \frac{48}{2652} \)
- İlk kart As'lı bir Maça ise: Olasılık \( \frac{1}{52} \), Koşullu Olasılık \( \frac{3}{51} \). Çarpım: \( \frac{1}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{3}{2652} \)
- ➡️ 5. Adım: Toplam olasılığı bulalım: \( \frac{48}{2652} + \frac{3}{2652} = \frac{51}{2652} \). Sadeleştirelim: \( \frac{51}{2652} = \frac{1}{52} \)
✅ Sonuç: \( \frac{1}{52} \). İlginç bir şekilde, bu olasılık sanki desteden direkt olarak belirli bir kart (Örneğin, Maça As'ı) çekmekle aynı çıkmıştır, ancak bu sadece bu özel soru için geçerlidir.
