Soru:
Bir restoranda 3 çeşit çorba, 5 çeşit ana yemek ve 2 çeşit tatlı vardır. Bir müşteri bir çorba, bir ana yemek ve bir tatlı seçecektir. Menüde, belirli bir çorba ile belirli bir ana yemek birlikte sipariş edildiğinde tatlı seçeneğinin 1'e düştüğü bir kısıtlama vardır. Diğer tüm durumlarda 2 tatlı seçeneği de mevcuttur.
Rastgele bir seçim yapıldığında, müşterinin 2 tatlı seçeneğinden birini seçebilme olasılığı nedir?
Çözüm:
💡 Bu soruda, seçimler bağımlıdır çünkü çorba ve ana yemek seçimi, tatlı seçeneği sayısını etkilemektedir.
- ➡️ Öncelikle, tüm mümkün yemek seçimlerinin sayısını bulalım. Kısıtlama olmasaydı: \( 3 \times 5 \times 2 = 30 \) farklı seçim olurdu.
- ➡️ Ancak bizden istenen, tatlı seçeneğinin 2 olduğu durumların olasılığı. Bunun için, tatlı seçeneğinin 1 olduğu durumların olasılığını bulup 1'den çıkarmak daha kolay olabilir.
- ➡️ Tatlı seçeneğinin 1 olduğu durum, belirli bir çorba ile belirli bir ana yemek kombinasyonunun seçilmesidir. Soruda hangi çorba ve ana yemek olduğu belirtilmemiş, bu yüzden genel bir çift olduğunu varsayıyoruz. Yani 1 özel çorba ve 1 özel ana yemek.
- ➡️ Bu özel kombinasyon seçildiğinde, çorba ve ana yemek 1 farklı şekilde seçilir ve tatlı seçimi de 1 farklı şekilde (çünkü seçenek 1'e düşer) yapılır. Yani tatlı seçeneğinin 1 olduğu durum sayısı: \( 1 \times 1 \times 1 = 1 \).
- ➡️ Tüm mümkün seçim sayısı 30 olduğuna göre, tatlı seçeneğinin 1 olduğu durumun olasılığı: \( \frac{1}{30} \).
- ➡️ Tatlı seçeneğinin 2 olduğu durumun olasılığı ise: \( 1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30} \).
- ➡️ Kontrol: Tatlı seçeneğinin 2 olduğu durumları doğrudan da sayabiliriz. Toplam çorba-ana yemek çifti sayısı \( 3 \times 5 = 15 \)'tir. Bunlardan 1 tanesi özel çifttir ve tatlı seçeneği 1'dir. Geriye kalan \( 15 - 1 = 14 \) çorba-ana yemek çifti için tatlı seçeneği 2'dir. Bu 14 çiftin her biri için 2 tatlı seçeneği olduğundan, bu duruma uyan toplam seçim sayısı \( 14 \times 2 = 28 \)'dir. Olasılık: \( \frac{28}{30} = \frac{14}{15} \).
- ➡️ Bir çelişki var! İki farklı sonuç bulduk. Buradaki hata, "tüm mümkün seçimlerin" eş olası olmamasıdır. Özel çift seçildiğinde sadece 1 tatlı yolu varken, diğer çiftler seçildiğinde 2'şer tatlı yolu vardır. Yani her bir menü kombinasyonunun seçilme olasılığı eşit değildir. Bu nedenle doğru yol, tüm eş olası temel olayları tanımlamaktır.
- ➡️ Doğru Çözüm: Eş olası temel olaylar, Çorba x Ana Yemek x Tatlı üçlüleridir. Toplam üçlü sayısını bulalım.
- Özel çorba-ana yemek çifti için: 1 çorba x 1 ana yemek x 1 tatlı = 1 üçlü.
- Diğer çiftler için: (3x5 - 1) = 14 çorba-ana yemek çifti x 2 tatlı = 28 üçlü.
- Toplam eş olası temel olay (üçlü) sayısı: \( 1 + 28 = 29 \).
- ➡️ İstenen olay: "2 tatlı seçeneğinden birini seçebilme", yani tatlı seçeneğinin 2 olduğu durumlar. Bu da yukarıda hesapladığımız 28 üçlüye denk gelir.
- ➡️ Olasılık: \( \frac{28}{29} \).
✅ Cevap: \( \frac{28}{29} \)
