Soru:
Bir torbada 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 özdeş top vardır. Geri konulmamak üzere art arda 2 top çekiliyor.
a) Çekilen ilk topun asal sayı, ikinci topun da tek sayı olma olasılığı nedir?
b) Çekilen iki topun numaralarının toplamının 10'dan büyük olma olasılığı nedir?
Çözüm:
💡 Toplar geri konulmadığı için olaylar bağımlıdır. Önce temel kümeyi belirleyelim.
1'den 10'a kadar asal sayılar: {2, 3, 5, 7} → 4 tane.
1'den 10'a kadar tek sayılar: {1, 3, 5, 7, 9} → 5 tane.
- ➡️ a şıkkı için: İlk topun asal olma olasılığı: \( \frac{4}{10} \). İlk top asal çekildiğinde, bu asal sayının aynı zamanda tek sayı olup olmaması ikinci adımı etkiler. Koşullu olasılığa dikkat!
- ➡️ İlk çekilen asal sayıların 3'ü tektir (3,5,7), 1'i çifttir (2). Bu nedenle, ikinci topun tek olma olasılığını hesaplamak için Olasılığın Toplam Kuralını kullanmalıyız.
- ➡️ \( P(A \cap T) = P(A) \times P(T|A) \). \( P(T|A) \)'yı bulalım. İlk top asal çekildiğinde geriye 9 top kalır. İlk top asal ve tek ise (3,5,7), geriye 4 tek sayı kalır (Çünkü toplam 5 tek sayıdan birini çektik). İlk top asal ve çift ise (2), geriye 5 tek sayı kalır.
- ➡️ \( P(T|A) = \frac{3}{4} \times \frac{4}{9} + \frac{1}{4} \times \frac{5}{9} = \frac{12}{36} + \frac{5}{36} = \frac{17}{36} \). Bu, ilk topun asal olduğu bilgisiyle ikinci topun tek olma ortalama olasılığıdır.
- ➡️ Sonuç: \( P(A \cap T) = \frac{4}{10} \times \frac{17}{36} = \frac{68}{360} = \frac{17}{90} \).
- ➡️ b şıkkı için: Toplamları 10'dan büyük olan tüm (x,y) çiftlerini sayalım. (x≠y). (2,9), (3,8), (3,9), (4,7), (4,8), (4,9), (4,10), (5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10). Bu 22 çiftin her biri 2! = 2 farklı sırada çekilebilir. Yani toplam 22 x 2 = 44 sıralı çift vardır.
- ➡️ Tüm mümkün sıralı çift sayısı: \( 10 \times 9 = 90 \).
- ➡️ Olasılık: \( \frac{44}{90} = \frac{22}{45} \).
✅ a) Cevap: \( \frac{17}{90} \)
✅ b) Cevap: \( \frac{22}{45} \)
