Soru:
Bir \( ABC \) üçgeninde \( [AD] \), \( A \) açısının iç açıortayıdır. \( |BD| = 2x + 1 \) cm, \( |DC| = x + 4 \) cm, \( |AB| = 10 \) cm ve \( |AC| = 8 \) cm olduğuna göre, \( x \) değerini ve \( |BC| \) uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda bilinmeyenli ifadeler var. İç Açıortay Teoremi'ni kullanarak bir denklem kuracağız.
- ➡️ Teorem: \( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \)
- ➡️ Verilenleri yerine koyalım: \( \dfrac{2x + 1}{x + 4} = \dfrac{10}{8} \)
- ➡️ Sağ tarafı sadeleştirelim: \( \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4} \)
- ➡️ Denklem: \( \dfrac{2x + 1}{x + 4} = \dfrac{5}{4} \)
- ➡️ İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4(2x + 1) = 5(x + 4) \)
- ➡️ Parantezleri dağıtalım: \( 8x + 4 = 5x + 20 \)
- ➡️ Bilinmeyenleri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa toplayalım: \( 8x - 5x = 20 - 4 \) → \( 3x = 16 \)
- ➡️ Her iki tarafı 3'e bölelim: \( x = \dfrac{16}{3} \)
- ➡️ \( |BC| = |BD| + |DC| = (2x + 1) + (x + 4) = 3x + 5 \)
- ➡️ \( x \) değerini yerine koyalım: \( |BC| = 3 \times \dfrac{16}{3} + 5 = 16 + 5 = 21 \) cm
✅ \( x = \dfrac{16}{3} \) ve \( |BC| = 21 \) cm.
