Soru:
\( 2^{30} + 3^{20} \) sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
💡 Toplamın kalanını bulmak için her bir terimin kalanını ayrı ayrı bulup toplar, sonra 7'ye böleriz.
- ➡️ İlk terim: \( 2^{30} \)
- 2'nin 7'ye bölümünden kalanların periyodunu bulalım:
- \( 2^1 = 2 \) → Kalan: 2
- \( 2^2 = 4 \) → Kalan: 4
- \( 2^3 = 8 \) → Kalan: 1
- \( 2^4 = 16 \) → Kalan: 2
- Periyot 3'tür. \( 30 \div 3 = 10 \) ve kalan 0'dır. Kalan 0 ise periyottaki son değer olan 1'i alırız. Yani \( 2^{30} \)'un 7'ye bölümünden kalan 1'dir.
- ➡️ İkinci terim: \( 3^{20} \)
- 3'ün 7'ye bölümünden kalanların periyodunu bulalım:
- \( 3^1 = 3 \) → Kalan: 3
- \( 3^2 = 9 \) → Kalan: 2
- \( 3^3 = 27 \) → Kalan: 6
- \( 3^4 = 81 \) → Kalan: 4
- \( 3^5 = 243 \) → Kalan: 5
- \( 3^6 = 729 \) → Kalan: 1
- \( 3^7 = 2187 \) → Kalan: 3
- Periyot 6'dır. \( 20 \div 6 = 3 \) ve kalan 2'dir. Periyottaki 2. değer 2'dir. Yani \( 3^{20} \)'nin 7'ye bölümünden kalan 2'dir.
- ➡️ Toplamın kalanı: \( 1 + 2 = 3 \). \( 3 < 7 \) olduğundan başka işlem yapmaya gerek yoktur.
✅ Sonuç: \( 2^{30} + 3^{20} \) sayısının 7 ile bölümünden kalan 3'tür.
