Soru:
\( 3^{45} \) sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
💡 Büyük üslü sayıların bölümünden kalanı bulmak için modüler aritmetik ve kalanların periyodikliği kullanılır.
- ➡️ 3'ün 5 ile bölümünden kalanları inceleyelim:
- \( 3^1 \equiv 3 \pmod{5} \)
- \( 3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5} \)
- \( 3^3 \equiv 3^2 \times 3 \equiv 4 \times 3 \equiv 12 \equiv 2 \pmod{5} \)
- \( 3^4 \equiv 3^3 \times 3 \equiv 2 \times 3 \equiv 6 \equiv 1 \pmod{5} \)
- ➡️ Görüldüğü gibi kalanlar 4'te bir periyotla (3, 4, 2, 1) tekrar ediyor.
- ➡️ Üs 45 olduğuna göre, 45'i periyot uzunluğu olan 4'e bölelim: \( 45 \div 4 = 11 \) ve kalan 1.
- ➡️ Kalan 1 ise, periyottaki 1. terime yani \( 3^1 \)'in kalanına bakarız.
- ➡️ \( 3^1 \equiv 3 \pmod{5} \)
✅ Sonuç: \( 3^{45} \) sayısının 5 ile bölümünden kalan 3'tür.
