Soru:
\( 2^{18} + 3^{20} \) toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
💡 Toplamın bölümünden kalan, her bir terimin ayrı ayrı bölümünden kalanların toplamının kalanına eşittir.
- ➡️ Önce \( 2^{18} \) sayısının 7 ile bölümünden kalanı bulalım.
- 2'nin kuvvetlerinin 7'ye bölümünden kalanları inceleyelim:
- \( 2^1 \equiv 2 \), \( 2^2 \equiv 4 \), \( 2^3 \equiv 1 \pmod{7} \)
- Periyot 3'tür. \( 18 \div 3 = 6 \) kalan 0. Kalan 0 ise periyottaki 3. terim yani \( 2^3 \)'ün kalanına eşittir. \( 2^3 \equiv 1 \pmod{7} \). Yani \( 2^{18} \equiv 1 \pmod{7} \).
- ➡️ Şimdi \( 3^{20} \) sayısının 7 ile bölümünden kalanı bulalım.
- 3'ün kuvvetlerinin 7'ye bölümünden kalanları inceleyelim:
- \( 3^1 \equiv 3 \), \( 3^2 \equiv 2 \), \( 3^3 \equiv 6 \), \( 3^4 \equiv 4 \), \( 3^5 \equiv 5 \), \( 3^6 \equiv 1 \pmod{7} \)
- Periyot 6'tır. \( 20 \div 6 = 3 \) kalan 2. Kalan 2 ise periyottaki 2. terim yani \( 3^2 \)'nin kalanına eşittir. \( 3^2 \equiv 2 \pmod{7} \). Yani \( 3^{20} \equiv 2 \pmod{7} \).
- ➡️ Şimdi kalanları toplayalım: \( 1 + 2 = 3 \).
- ➡️ \( 3 < 7 \) olduğu için başka işleme gerek yok.
✅ Sonuç: \( 2^{18} + 3^{20} \) toplamının 7 ile bölümünden kalan 3'tür.
